希爾伯特空間

希爾伯特空間是一個向量空間 ，帶有一個內積 ，使得由以下定義的範數

將 變成一個完備度量空間。如果由範數定義的度量不是完備的，那麼 則被稱為內積空間。

有限維希爾伯特空間的例子包括

1. 實數 ，其中 是向量 和 的點積。

2. 複數 ，其中 是向量 和 的複共軛的點積。

無限維希爾伯特空間的一個例子是 ，即所有函式 的集合，使得 在整個實數線上的積分是有限的。在這種情況下，內積是

希爾伯特空間總是巴拿赫空間，但反之不一定成立。

麻省理工學院的走廊裡流傳著一個（小）笑話：“你認識希爾伯特嗎？不認識？那你還在他的空間裡幹什麼？”（S. A. Vaughn, 私人通訊，2005 年 7 月 31 日）。