積分

術語“積分”在數學中可以指代許多不同的概念。最常見的含義是微積分的基本物件，對應於對無窮小片段求和以找到連續區域的內容。“積分”的其他用途包括始終取整數值的值（例如，整嵌入，整圖），整數形成基本示例的數學物件（例如，整環），以及方程的特定值（例如，積分曲線）。

在微積分中，積分是一個數學物件，可以解釋為面積或面積的推廣。積分與導數一起，是微積分的基本物件。積分的其他詞語包括反導數和原函式。計算積分的過程稱為積分（積分的更古老術語是求積法），積分的近似計算稱為數值積分。

黎曼積分是最簡單的積分定義，也是物理學和初等微積分中通常遇到的唯一積分定義。事實上，根據 Jeffreys 和 Jeffreys（1988，第 29 頁），“似乎在物理學中，這些方法[即，黎曼積分的推廣]適用而黎曼[積分定義]不適用的情況太罕見了，以至於不值得付出額外的努力。”

函式在上從到的黎曼積分寫為

(1)

請注意，如果，則積分簡寫為

(2)

而不是。

每個積分的定義都基於特定的測度。例如，黎曼積分基於若爾當測度，而勒貝格積分基於勒貝格測度。此外，根據上下文，可以使用各種其他積分符號。例如，可積函式在集合上的勒貝格積分，該集合對於測度是可測的，通常寫為

(3)

如果 () 中的集合是一個區間，則通常採用 (2) 中的“下標-上標”表示法。黎曼積分的另一個推廣是斯蒂爾吉斯積分，其中定義在閉區間上的被積函式可以對定義在上的實值有界函式進行積分，其結果形式為

(4)

或等效地

(5)

在微分幾何研究中，符號可能改變的另一種情況出現了，在整個研究中，被積函式被認為更一般的微分k-形式，並且可以使用以下等效符號在集合上進行積分

(6)

其中是上述勒貝格測度。值得注意的是，方程 () 左側的符號與上面表示式 () 中的符號相似。

（黎曼）積分分為兩類：定積分，例如 (5)，它們具有上限和下限，以及不定積分，例如

(7)

它們在書寫時沒有極限。第一個微積分基本定理允許根據不定積分計算定積分，因為如果是的不定積分，則

(8)

更重要的是，第一個微積分基本定理可以更一般地用微分形式（如上面的 () 中）重寫，以說明微分形式在某個可定向流形的邊界上的積分等於的外微分在內部上的積分，即

(9)

以這種形式書寫，第一個微積分基本定理被稱為斯托克斯定理。

由於常數的導數為零，不定積分僅在任意積分常數的範圍內定義，即

(10)

維護了一個網站 http://integrals.wolfram.com/，可以找到許多常見（和不太常見）函式的不定積分。

對積分求導會產生一些有用且強大的恆等式。例如，如果是連續的，則

(11)

這是第一個微積分基本定理。其他導數-積分恆等式包括

(12)

萊布尼茨積分法則

(13)

（Kaplan 1992，第 275 頁），其推廣形式

(14)

（Kaplan 1992，第 258 頁），以及

(15)

透過在 (15) 的左側應用 (14) 並使用分部積分可以看出。

其他積分恆等式包括

(16)

(17)

			(18)
			(19)

以及有趣的積分恆等式

(20)

其中是任何函式，並且

(21)

只要且是實數（Glasser 1983）。

具有有理指數的積分通常可以透過替換來求解，其中是指數的分母的最小公倍數。