高斯求積

旨在透過選擇最優橫座標 來獲得積分的最佳數值估計，在這些橫座標處評估函式 。高斯求積基本定理 指出， 點高斯求積 公式 的最優 橫座標 正好是對於相同區間和 權函式 的正交 多項式 的根。 高斯求積是最優的，因為它精確地擬合了所有高達 次的多項式。 從 Radau 求積 和 Laguerre-Gauss 求積 獲得稍遜的最優擬合。

	區間	是...的根
1

為了確定對應於高斯橫座標 的權重，透過令以下公式計算 的拉格朗日插值多項式

(1)

（其中 Chandrasekhar 1967 使用 代替 ），因此

(2)

然後透過 個點擬合拉格朗日插值多項式得到

(3)

對於任意點 。 因此，我們正在尋找一組點 和權重 ，使得對於 權函式 ，

			(4)
			(5)

其中 權重

(6)

權重 有時也稱為 Christoffel 數 (Chandrasekhar 1967)。 對於 正交多項式 ，其中 , ..., ,

(7)

(Hildebrand 1956, p. 322)，其中 是 在 中的 係數，那麼

			(8)
			(9)

其中

(10)

使用關係式

(11)

(Hildebrand 1956, p. 323) 給出

(12)

（注意 Press et al. 1992 省略了因子 。） 在高斯求積中，權重均為 正數。 誤差由下式給出

			(13)
			(14)

其中 (Hildebrand 1956, pp. 320-321)。

其他有趣的恆等式是

(15)

和

			(16)
			(17)

(Hildebrand 1956, p. 323)。

在 Szegö (1975) 的 符號 中，令 是 中的有序點集，令 , ..., 是一組 實數。 如果 是 閉區間 上的任意函式，則將高斯求積寫為

(18)

這裡 是 橫座標， 是 Cotes 數。