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Jacobi-Gauss 正交

Jacobi-Gauss 正交，也稱為 Jacobi 正交或 Mehler 正交，是區間 [-1,1] 上關於 權重函式 的 高斯正交。

W(x)=(1-x)^alpha(1+x)^beta.
(1)

階數為 n 的正交的橫座標 由 雅可比多項式 P_n^((alpha,beta))(x) 的根給出。權重為

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nP_n^((alpha,beta))^'(x_i)P_(n+1)^((alpha,beta))(x_i))
(2)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(P_(n-1)^((alpha,beta))(x_i)P_n^((alpha,beta))^'(x_i)),
(3)

其中 A_n 是 係數 x^n 在 P_n^((alpha,beta))(x) 中的係數。對於 雅可比多項式，

A_n=(Gamma(2n+alpha+beta+1))/(2^nn!Gamma(n+alpha+beta+1)),
(4)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式。此外，

gamma_n=1/(2^(2n)(n!)^2)(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/(2n+alpha+beta+1)(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(Gamma(n+alpha+beta+1)),
(5)

所以

w_i=(2n+alpha+beta+2)/(n+alpha+beta+1)(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(Gamma(n+alpha+beta+1))(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/(V_n^'(x_i)V_(n+1)(x_i))
(6)
=(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(Gamma(n+alpha+beta+1))(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/((1-x_i^2)[V_n^'(x_i)]^2),
(7)

其中

V_m=P_n^((alpha,beta))(x)(2^nn!)/((-1)^n).
(8)

誤差項為

E_n=(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1)Gamma(n+alpha+beta+1))/((2n+alpha+beta+1)[Gamma(2n+alpha+beta+1)]^2)(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/((2n)!)f^((2n))(xi)
(9)

（Hildebrand 1956）。

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參考文獻

Hildebrand, F. B. 數值分析導論。 New York: McGraw-Hill, pp. 331-334, 1956.

在 上引用

Jacobi-Gauss 正交

引用為

Weisstein, Eric W. "Jacobi-Gauss Quadrature." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Jacobi-GaussQuadrature.html

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