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雅可比多項式

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雅可比多項式，也稱為超幾何多項式，出現在旋轉群的研究以及對稱陀螺運動方程的解中。它們是雅可比微分方程的解，並給出一些其他特殊命名的多項式作為特例。它們在 Wolfram Language 中被實現為JacobiP[n, a, b, z].

對於 alpha=beta=0, P_n^((0,0))(x) 簡化為勒讓德多項式。蓋根鮑爾多項式

G_n(p,q,x)=(n!Gamma(n+p))/(Gamma(2n+p))P_n^((p-q,q-1))(2x-1)
(1)

和第一類切比雪夫多項式也可以被視為雅可比多項式的特例。

代入

y=sum_(nu=0)^inftya_nu(x-1)^nu
(2)

到雅可比微分方程中得到遞推關係

[gamma-nu(nu+alpha+beta+1)]a_nu-2(nu+1)(nu+alpha+1)a_(nu+1)=0
(3)

對於 nu=0, 1, ..., 其中

gamma=n(n+alpha+beta+1).
(4)

求解遞推關係得到

P_n^((alpha,beta))(x)=((-1)^n)/(2^nn!)(1-x)^(-alpha)(1+x)^(-beta)(d^n)/(dx^n)[(1-x)^(alpha+n)(1+x)^(beta+n)]
(5)

對於 alpha,beta>-1。它們在區間 [-1,1] 上關於權重函式

w_n(x)=(1-x)^alpha(1+x)^beta,
(6)

並根據以下公式歸一化

P_n^((alpha,beta))(1)=(n+alpha; n),
(7)

其中 (n; k) 是二項式係數。雅可比多項式也可以寫成

P_n^((alpha,beta))=(Gamma(2n+alpha+beta+1))/(n!Gamma(n+alpha+beta+1))G_n(alpha+beta+1,beta+1,1/2(x+1)),
(8)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式，並且

G_n(p,q,x)=(n!Gamma(n+p))/(Gamma(2n+p))P_n^((p-q,q-1))(2x-1).
(9)

雅可比多項式是正交多項式，並滿足

int_(-1)^1P_m^((alpha,beta))P_n^((alpha,beta))(1-x)^alpha(1+x)^betadx =(2^(alpha+beta+1))/(2n+alpha+beta+1)(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(n!Gamma(n+alpha+beta+1))delta_(mn).
(10)

項 x^n 在 P_n^((alpha,beta))(x) 中的係數由下式給出

A_n=(Gamma(2n+alpha+beta+1))/(2^nn!Gamma(n+alpha+beta+1)).
(11)

它們滿足遞推關係

2(n+1)(n+alpha+beta+1)(2n+alpha+beta)P_(n+1)^((alpha,beta))(x) =[(2n+alpha+beta+1)(alpha^2-beta^2)+(2n+alpha+beta)_3x]P_n^((alpha,beta))(x)-2(n+alpha)(n+beta)(2n+alpha+beta+2)P_(n-1)^((alpha,beta))(x),
(12)

其中 (m)_n 是波赫哈默爾符號

(m)_n=m(m+1)...(m+n-1)=((m+n-1)!)/((m-1)!).
(13)

導數由下式給出

d/(dx)[P_n^((alpha,beta))(x)]=1/2(n+alpha+beta+1)P_(n-1)^((alpha+1,beta+1))(x).
(14)

在閉區間 [a,b] 上，權重函式為 (b-x)^alpha(x-a)^beta 的正交多項式可以表示為以下形式

[const]P_n^((alpha,beta))(2(x-a)/(b-a)-1)
(15)

(Szegö 1975, p. 58)。

alpha=beta 的特殊情況是

P_(2nu)^((alpha,alpha))(x)=(Gamma(2nu+alpha+1)Gamma(nu+1))/(Gamma(nu+alpha+1)Gamma(2nu+1))P_nu^((alpha,-1/2))(2x^2-1)
(16)
=(-1)^nu(Gamma(2nu+alpha+1)Gamma(nu+1))/(Gamma(nu+alpha+1)Gamma(2nu+1))P_nu^((-1/2,alpha))(1-2x^2)
(17)
P_(2nu+1)^((alpha,alpha))(x)=(Gamma(2nu+alpha+2)Gamma(nu+1))/(Gamma(nu+alpha+1)Gamma(2nu+2))xP_nu^((alpha,1/2))(2x^2-1)
(18)
=(-1)^nu(Gamma(2nu+alpha+2)Gamma(nu+1))/(Gamma(nu+alpha+1)Gamma(2nu+2))xP_nu^((1/2,alpha))(1-2x^2).
(19)

更多的恆等式有

P_n^((alpha+1,beta))(x)=2/(2n+alpha+beta+2)((n+alpha+1)P_n^((alpha,beta))-(n+1)P_(n+1)^((alpha,beta))(x))/(1-x)
(20)
P_n^((alpha,beta+1))(x)=2/(2n+alpha+beta+2)((n+beta+1)P_n^((alpha,beta))(x)+(n+1)P_(n+1)^((alpha,beta))(x))/(1+x)
(21)
sum_(nu=0)^n(2nu+alpha+beta+1)/(2^(alpha+beta+1))(Gamma(nu+1)Gamma(nu+alpha+beta+1))/(Gamma(nu+alpha+1)Gamma(nu+beta+1))P_nu^((alpha,beta))(x)Q_nu^((alpha,beta))(y) =1/2((y-1)^(-alpha)(y+1)^(-beta))/(y-x)+(2^(-alpha-beta))/(2n+alpha+beta+2)(Gamma(n+2)Gamma(n+alpha+beta+2))/(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))(P_(n+1)^((alpha,beta))(x)Q_n^((alpha,beta))(y)-P_n^((alpha,beta))(x)Q_(n+1)^(alpha,beta)(y))/(x-y)
(22)

(Szegö 1975, p. 79)。

核多項式是

K_n^((alpha,beta))(x,y)=(2^(-alpha-beta))/(2n+alpha+beta+2)(Gamma(n+2)Gamma(n+alpha+beta+2))/(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))(P_(n+1)^((alpha,beta))(x)P_n^((alpha,beta))(y)-P_n^((alpha,beta))(x)P_(n+1)^((alpha,beta))(y))/(x-y)
(23)

(Szegö 1975, p. 71)。

多項式判別式是

D_n^((alpha,beta))=2^(-n(n-1))product_(nu=1)^nnu^(nu-2n+2)(nu+alpha)^(nu-1)(nu+beta)^(nu-1) ×(n+nu+alpha+beta)^(n-nu)
(24)

(Szegö 1975, p. 143)。

用超幾何函式表示，

P_n^((alpha,beta))(x)=(n+alpha; n)_2F_1(-n,n+alpha+beta+1;alpha+1;1/2(1-x))
(25)
=((alpha+1)_n)/(n!)_2F_1(-n,n+alpha+beta+1;alpha+1;1/2(1-x))
(26)
=(n+alpha; n)((x+1)/2)^n_2F_1(-n,-n-beta;alpha+1;(x-1)/(x+1)),
(27)

其中 (alpha)_n 是波赫哈默爾符號 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 561; Koekoek and Swarttouw 1998)。

令 N_1 為 x in (-1,1) 在 中的零點數， N_2 為 x in (-infty,-1) 在 中的零點數， N_3 為 x in (1,infty) 在 中的零點數。定義克萊因符號

E(u)={0 if u<=0; |_u_| if u positive and nonintegral; u-1 if u=1, 2, ...,
(28)

其中 |_x_| 是向下取整函式，並且

X(alpha,beta)=E[1/2(|2n+alpha+beta+1|-|alpha|-|beta|+1)]
(29)
Y(alpha,beta)=E[1/2(-|2n+alpha+beta+1|+|alpha|-|beta|+1)]
(30)
Z(alpha,beta)=E[1/2(-|2n+alpha+beta+1|-|alpha|+|beta|+1)].
(31)

如果排除情況 alpha=-1, -2, ..., -n, beta=-1, -2, ..., -n, 和 n+alpha+beta=-1, -2, ..., -n ，那麼 P_n^((alpha,beta)) 在各個區間內的零點數是

N_1(alpha,beta)={2|_1/2(X+1)_| for (-1)^n(n+alpha; n)(n+beta; n)>0; 2|_1/2X_|+1 for (-1)^n(n+alpha; n)(n+beta; n)<0
(32)
N_2(alpha,beta)={2|_1/2(Y+1)_| for (2n+alpha+beta; n)(n+beta; n)>0; 2|_1/2Y_|+1 for (2n+alpha+beta; n)(n+beta; n)<0
(33)
N_3(alpha,beta)={2|_1/2(Z+1)_| for (2n+alpha+beta; n)(n+alpha; n)>0; 2|_1/2Z_|+1 for (2n+alpha+beta; n)(n+alpha; n)<0
(34)

(Szegö 1975, pp. 144-146)，其中 |_x_| 再次是向下取整函式。

前幾個多項式是

P_0^((alpha,beta))(x)=1
(35)
P_1^((alpha,beta))(x)=1/2[2(alpha+1)+(alpha+beta+2)(x-1)]
(36)
P_2^((alpha,beta))(x)=1/8[4(alpha+1)(alpha+2)+4(alpha+beta+3)(alpha+2)(x-1)+(alpha+beta+3)(alpha+beta+4)(x-1)^2]
(37)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 793)。

有關更多恆等式，請參見 Abramowitz and Stegun (1972, pp. 782-793) 和 Szegö (1975, Ch. 4)。

另請參見

第一類切比雪夫多項式, 蓋根鮑爾多項式, 第二類雅可比函式, 多元雅可比多項式, 上升階乘, 澤尼克多項式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/JacobiP/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Orthogonal Polynomials." Ch. 22 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. "Jacobi Polynomials and Gram Determinants" and "Generating Functions for Jacobi Polynomials." §6.3 and 6.4 in Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 293-306, 1999.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). "Jacobi Polynomials." Appendix A, Table 20.V in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1480, 1980.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "Jacobi." §1.8 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 38-44, 1998.Roman, S. "The Theory of the Umbral Calculus I." J. Math. Anal. Appl. 87, 58-115, 1982.Szegö, G. "Jacobi Polynomials." Ch. 4 in Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.

在 上被引用

雅可比多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "雅可比多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/JacobiPolynomial.html

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