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第一類切比雪夫多項式

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ChebyshevT

第一類切比雪夫多項式是一組正交多項式，定義為切比雪夫微分方程的解，並用 T_n(x) 表示。它們用作 最小二乘擬合的近似，並且是 蓋根鮑爾多項式 的特殊情況，其中 alpha=0。它們還與三角倍角公式密切相關。第一類切比雪夫多項式用 T_n(x) 表示，並在 Wolfram 語言中實現為ChebyshevT[n, x]。它們被歸一化，使得 T_n(1)=1。上面顯示了前幾個多項式，對於 x in [-1,1] 和 n=1, 2, ..., 5。

第一類切比雪夫多項式 T_n(z) 可以透過輪廓積分定義

T_n(z)=1/(4pii)∮((1-t^2)t^(-n-1))/((1-2tz+t^2))dt,
(1)

其中輪廓包圍原點，並沿逆時針方向遍歷 (Arfken 1985, p. 416)。

前幾個第一類切比雪夫多項式是

T_0(x)=1
(2)
T_1(x)=x
(3)
T_2(x)=2x^2-1
(4)
T_3(x)=4x^3-3x
(5)
T_4(x)=8x^4-8x^2+1
(6)
T_5(x)=16x^5-20x^3+5x
(7)
T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1.
(8)

當按冪次從小到大排序時，非零係數三角形為 1; 1; -1, 2; -3, 4; 1, -8, 8; 5, -20, 16, ... (OEIS A008310)。

ChebyshevTSpiral

透過徑向繪製 T_n(x)，為每個 n 值增加半徑，並填充曲線之間的區域，可以獲得一個漂亮的圖 (Trott 1999, pp. 10 和 84)。

第一類切比雪夫多項式透過以下恆等式定義

T_n(costheta)=cos(ntheta)
(9)

或

T_n(coshtheta)=cosh(ntheta).
(10)

第一類切比雪夫多項式可以從以下生成函式獲得

g_1(t,x)=(1-t^2)/(1-2xt+t^2)
(11)
=T_0(x)+2sum_(n=1)^(infty)T_n(x)t^n
(12)

和

g_2(t,x)=(1-xt)/(1-2xt+t^2)
(13)
=sum_(n=0)^(infty)T_n(x)t^n
(14)

對於 |x|<=1 和 |t|<1 (Beeler et al. 1972, Item 15)。（一個密切相關的生成函式是第二類切比雪夫多項式定義的基礎。）

用平方根的冪表示的直接形式由下式給出

T_n(z)=1/2[(x+sqrt(x^2-1))^(-n)+(x+sqrt(x^2-1))^n].
(15)

多項式也可以用以下求和式定義

T_n(x)=n/2sum_(r=0)^(|_n/2_|)((-1)^r)/(n-r)(n-r; r)(2x)^(n-2r)
(16)
=sum_(m=0)^(|_n/2_|)(n; 2m)x^(n-2m)(x^2-1)^m,
(17)

其中 (n; k) 是二項式係數，|_x_| 是向下取整函式，或者乘積

T_n(x)=2^(n-1)product_(k=1)^n{x-cos[((2k-1)pi)/(2n)]}
(18)

(Zwillinger 1995, p. 696)。

T_n 也滿足奇特的行列式方程

T_n=|x 1 0 0 ... 0 0; 1 2x 1 0 ... 0 0; 0 1 2x 1 ... 0 0; 0 0 1 2x ... 0 0; 0 0 0 1 ... 1 0; | ... ... ... ... ... 1; 0 0 0 0 ... 1 2x|
(19)

(Nash 1986)。

第一類切比雪夫多項式是雅可比多項式 P_n^((alpha,beta)) 的特殊情況，其中 alpha=beta=-1/2,

T_n(x)=(P_n^((-1/2,-1/2))(x))/(P_n^((-1/2,-1/2))(1))
(20)
=_2F_1(-n,n;1/2;1/2(1-x)),
(21)

其中 _2F_1(a,b;c;x) 是超幾何函式 (Koekoek and Swarttouw 1998)。

零點出現在當

x=cos[(pi(k-1/2))/n]
(22)

對於 k=1, 2, ..., n。極值出現在當

x=cos((pik)/n),
(23)

其中 k=0,1,...,n。在最大值處，T_n(x)=1，在最小值處，T_n(x)=-1。

切比雪夫多項式是關於權重函式 (1-x^2)^(-1/2) 的正交多項式

int_(-1)^1(T_m(x)T_n(x)dx)/(sqrt(1-x^2))={1/2pidelta_(nm) for m!=0, n!=0; pi for m=n=0,
(24)

其中 delta_(mn) 是克羅內克 delta 函式。第一類切比雪夫多項式滿足額外的離散恆等式

sum_(k=1)^mT_i(x_k)T_j(x_k)={1/2mdelta_(ij) for i!=0, j!=0; m for i=j=0,
(25)

其中 x_k 對於 k=1, ..., m 是 m 個 T_m(x) 的零點。

它們也滿足以下遞推關係

T_(n+1)(x)=2xT_n(x)-T_(n-1)(x)
(26)
T_(n+1)(x)=xT_n(x)-sqrt((1-x^2){1-[T_n(x)]^2})
(27)

對於 n>=1，以及

(x-1)[T_(2n+1)(x)-1]=[T_(n+1)(x)-T_n(x)]^2
(28)
2(x^2-1)[T_(2n)(x)-1]=[T_(n+1)(x)-T_(n-1)(x)]^2
(29)

(Watkins and Zeitlin 1993; Rivlin 1990, p. 5)。

它們有一個復積分表示

T_n(x)=1/(4pii)int_gamma((1-z^2)z^(-n-1)dz)/(1-2xz+z^2)
(30)

以及一個羅德里格斯表示

T_n(x)=((-1)^nsqrt(pi)(1-x^2)^(1/2))/(2^n(n-1/2)!)(d^n)/(dx^n)[(1-x^2)^(n-1/2)].
(31)

使用具有乘法規則的快速斐波那契變換

(A,B)(C,D)=(AD+BC+2xAC,BD-AC)
(32)

得到

(T_(n+1)(x),-T_n(x))=(T_1(x),-T_0(x))(1,0)^n.
(33)

在 (-1,1) 範圍內使用格拉姆-施密特正交化，權重函式為 (1-x^2)^((-1/2))，得到

p_0(x)=1
(34)
p_1(x)=[x-(int_(-1)^1x(1-x^2)^(-1/2)dx)/(int_(-1)^1(1-x^2)^(-1/2)dx)]
(35)
=x-([-(1-x^2)^(1/2)]_(-1)^1)/([sin^(-1)x]_(-1)^1)
(36)
=x
(37)
p_2(x)=[x-(int_(-1)^1x^3(1-x^2)^(-1/2)dx)/(int_(-1)^1x^2(1-x^2)^(-1/2)dx)]x-[(int_(-1)^1x^2(1-x^2)^(-1/2)dx)/(int_(-1)^1(1-x^2)^(-1/2)dx)]·1
(38)
=[x-0]x-(pi/2)/pi
(39)
=x^2-1/2,
(40)

等等。歸一化使得 T_n(1)=1 得到第一類切比雪夫多項式。

第一類切比雪夫多項式與第一類貝塞爾函式 J_n(x) 和第一類修正貝塞爾函式 I_n(x) 透過以下關係式相關

J_n(x)=i^nT_n(id/(dx))J_0(x)
(41)
I_n(x)=T_n(d/(dx))I_0(x).
(42)

令 x=costheta 允許第一類切比雪夫多項式寫成

T_n(x)=cos(ntheta)
(43)
=cos(ncos^(-1)x).
(44)

變換後的微分方程的第二個線性相關解

(d^2T_n)/(dtheta^2)+n^2T_n=0
(45)

然後由下式給出

V_n(x)=sin(ntheta)
(46)
=sin(ncos^(-1)x),
(47)

也可以寫成

V_n(x)=sqrt(1-x^2)U_(n-1)(x),
(48)

其中 U_n 是第二類切比雪夫多項式。請注意，V_n(x) 因此不是 多項式。

結式 rho(T_n(x),T_k(x)) 的三角形由 {0}, {-1,0}, {0,-4,0}, {1,16,64,0}, {0,-16,0,4096,0}, ... (OEIS A054375) 給出。

ChebyshevTPowers

次數為 n-2 的多項式

p_n(x)=x^n-2^(1-n)T_n(x)
(49)

前幾個是

p_1(x)=0
(50)
p_2(x)=1/2
(51)
p_3(x)=3/4x
(52)
p_4(x)=x^2-1/8
(53)
p_5(x)=5/(16)(4x^3-x)
(54)

是次數 <n 的多項式，在區間 (-1,1) 中最接近 x^n。最大偏差為 2^(1-n)，在 n+1 個點處，其中

x=cos((kpi)/n),
(55)

對於 k=0, 1, ..., n (Beeler et al. 1972)。

另請參閱

切比雪夫逼近公式, 第二類切比雪夫多項式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/ChebyshevT/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/ChebyshevTGeneral/

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參考文獻

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在 中引用

第一類切比雪夫多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "第一類切比雪夫多項式。" 來自 —— Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

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