主題
Search

結式

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

給定一個多項式

p(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0
(1)

其階數為 n，根為 alpha_i, i=1, ..., n，以及一個多項式

q(x)=b_mx^m+b_(m-1)x^(m-1)+...+b_1x+b_0
(2)

其階數為 m，根為 beta_j, j=1, ..., m，則結式 rho(p,q)，也記作 R(p,q)，也稱為消去式，定義為

rho(p,q)=a_n^mb_m^nproduct_(i=1)^nproduct_(j=1)^m(alpha_i-beta_j)
(3)

（Trott 2006，第 26 頁）。

令人驚奇的是，結式也可以透過對應的西爾維斯特矩陣的行列式給出。

克羅內克在 1885 年夏天就結式進行了一系列講座 (O'Connor and Robertson 2005)。

結式的一個重要應用是從兩個多項式方程組中消去一個變數（Trott 2006，第 26 頁）。

可以使用 Wolfram 語言函式計算兩個多項式的結式結式[poly1, poly2, var]。此命令接受以下方法自動, 西爾維斯特矩陣, 貝祖矩陣, 子結式，以及模運算，其中最佳選擇在很大程度上取決於所考慮的具體多項式對，並且通常需要一些實驗。對於整數上的高階單變數多項式，選項設定模運算通常是最快的（Trott 2006，第 29 頁）。

存在一種類似於歐幾里得演算法的演算法，用於計算結式（Pohst 和 Zassenhaus 1989）。

一些簡單多項式對的結式包括

rho(x-a,x-b)=a-b
(4)
rho((x-a)(x-b),x-c)=(a-c)(b-c)
(5)
rho((x-a)(x-b),(x-c)(x-d))=(a-c)(b-c)(a-d)(b-d).
(6)

給定 p 和 q，則

h(x)=rho(q(t),p(x-t))
(7)

是一個階數為 mn 的多項式，其根為所有形如 的 和 alpha_i+beta_j 的和。

另請參閱

Gröbner 基, 多元結式, 多項式判別式, 預解式, 子結式, 西爾維斯特矩陣

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. "Resultants of Cyclotomic Polynomials." Proc. Amer. Math. Soc. 24, 457-462, 1970.Apostol, T. M. "The Resultant of the Cyclotomic Polynomials F_m(ax) and F_n(bx)." Math. Comput. 29, 1-6, 1975.Bikker, P. and Uteshev, A. Y. "On the Bézout Construction of the Resultant." J. Symb. Comput. 28, 45-88, 1999.Bykov, V.; Kytmanov, A.; Lazman, M.; and Passare, M. (Eds.). Elimination Methods in Polynomial Computer Algebra. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1998.Childs, L. A Concrete Introduction to Higher Algebra. New York: Springer-Verlag, 1992.Cohen, H. "Resultants and Discriminants." §3.3.2 in A Course in Computational Algebraic Number Theory. New York: Springer-Verlag, pp. 119-123, 1993.Cohen, J. S. Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods. Wellesley: A K Peters, 2003.Davenport, J. H.; Siret, Y.; and Tournier, E. Computer Algebra: Systems and Algorithms for Algebraic Computations. London: Academic Press, 1993.Gelfand, I. M.; Kapranov, M.; and Zelevinsky, A. Discriminants, Resultants and Multidimensional Resultants. Boston: Birkhäuser, 1994.Maculay, F. S. The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1916.O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. "Henry Burchard Fine." August 2005. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Fine_Henry.html.Pohst, M. and Zassenhaus, H. Algorithmic Algebraic Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.Prasalov, V. V. Polynomials. Berlin: Springer, 2004.Simpson, J. A. and Weiner, E. S. C. (Preparers). The Compact Oxford English Dictionary, 2nd ed. Oxford, England: Clarendon Press, p. 503, 1992.Sturmfels, B. In Applications of Computational Algebraic Geometry. American Mathematical Society Short Course January 6-7, 1997 San Diego, California (Ed. D. A. Cox and B. Sturmfels). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, pp. 26-29, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, p. 348, 1991.Wee, C. E. and Goldman, R. N. IEEE Comput. Graphics Appl. No. 1, 69, 1995.Wee, C. E. and Goldman, R. N. IEEE Comput. Graphics Appl. No. 3, 60, 1995.

在 中被引用

結式

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "結式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Resultant.html

主題分類