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多項式判別式

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多項式判別式是多項式多項式根 r_i 的差的平方的乘積。多項式的判別式僅在常數因子範圍內定義，並且可以使用幾種略有不同的歸一化方法。對於多項式

p(z)=a_nz^n+a_(n-1)z^(n-1)+...+a_1z+a_0
(1)

次數為 n，判別式最常見的定義是

D(p)=a_n^(2n-2)product_(i,j; i<j)^n(r_i-r_j)^2,
(2)

這給出了一個關於 p 的係數的 2(n-1) 次齊次多項式。

多項式 p 的判別式可以用結式表示為

D(p)=(-1)^(n(n-1)/2)R(p,p^')a_n^(n-k-2),
(3)

其中 p^' 是 p 的導數，k 是 p^' 的次數。對於無限特徵域，k=n-1，因此公式簡化為

D(p)=((-1)^(n(n-1)/2)R(p,p^'))/(a_n).
(4)

單變數多項式 p(x) 的判別式在 Wolfram 語言中實現為Discriminant[p, x].

二次方程的判別式

a_2z^2+a_1z+a_0=0
(5)

由下式給出

D_2=a_1^2-4a_0a_2.
(6)

三次方程的判別式

a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(7)

由下式給出

D_3=a_1^2a_2^2-4a_0a_2^3-4a_1^3a_3+18a_0a_1a_2a_3-27a_0^2a_3^2
(8)

四次方程的判別式

a_4z^4+a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(9)

是

D_4=[(a_1^2a_2^2a_3^2-4a_1^3a_3^3-4a_1^2a_2^3a_4+18a_1^3a_2a_3a_4-27a_1^4a_4^2+256a_0^3a_4^3)+a_0(-4a_2^3a_3^2+18a_1a_2a_3^3+16a_2^4a_4-80a_1a_2^2a_3a_4-6a_1^2a_3^2a_4+144a_1^2a_2a_4^2)+a_0^2(-27a_3^4+144a_2a_3^2a_4-128a_2^2a_4^2-192a_1a_3a_4^2)]
(10)

(Schroeppel 1972)。

另請參閱

三次方程, 多項式, 二次方程, 四次方程, 結式, 根分離, 子結式, 韋達定理

使用 探索

參考文獻

Akritas, A. G. 計算機代數及其應用基礎。 紐約: Wiley, 1989.Basu, S.; Pollack, R.; and Roy, M.-F. 實代數幾何演算法。 柏林: Springer-Verlag, 2003.Caviness, B. F. and Johnson, J. R. (編). 量詞消除與柱形代數分解。 紐約: Springer-Verlag, 1998.Cohen, H. "結式和判別式。" §3.3.2 in 計算代數數論教程。 紐約: Springer-Verlag, pp. 119-123, 1993.Cox, D.; Little, J.; and O'Shea, D. 理想，簇和演算法：代數幾何與交換代數導論，第2版。 紐約: Springer-Verlag, 1996.Mignotte, M. and Stefănescu, D. 多項式：演算法方法。 新加坡: Springer-Verlag, 1999.Schroeppel, R. Item 4 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 4, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/geometry.html#item4.Zippel, R. 有效多項式計算。 波士頓, MA: Kluwer, 1993.

在 中被引用

多項式判別式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "多項式判別式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PolynomialDiscriminant.html

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