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二次方程

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二次方程是關於單個變數 x 的二階多項式方程

ax^2+bx+c=0,
(1)

其中 a!=0。 因為它是二階多項式方程，代數基本定理保證它有兩個解。 這些解可能都是實數，或者都是複數。

在吉爾伯特和沙利文的輕歌劇《彭贊斯的海盜》中，斯坦利少將以其對二次方程的知識給海盜們留下了深刻印象，這體現在“少將之歌”中，歌詞如下：“我是現代少將的典範，我掌握植物、動物和礦物的資訊，我知道英國國王，我能引述歷史戰役，從馬拉松到滑鐵盧，按類別排序；我也非常熟悉數學問題，我理解方程，包括簡單方程和二次方程，關於二項式定理，我充滿了大量新知識——以及關於斜邊平方的許多令人愉快的事實。”

根 x 可以透過配方法找到，

x^2+b/ax=-c/a
(2)
(x+b/(2a))^2=-c/a+(b^2)/(4a^2)=(b^2-4ac)/(4a^2)
(3)
x+b/(2a)=(+/-sqrt(b^2-4ac))/(2a).
(4)

求解 x 得到

x=(-b+/-sqrt(b^2-4ac))/(2a).
(5)

這個方程被稱為二次公式。

已知最早的二次方程解法是埃及中王國時期（約公元前 2160-1700 年）的柏林紙草書中給出的解法。 這個問題可以簡化為求解

x^2+y^2=100
(6)
y=3/4x
(7)

(Smith 1953, p. 443)。 希臘人能夠用幾何方法解二次方程，歐幾里得（約公元前 325-270 年）的《已知數》包含了三個涉及二次方程的問題。 在他的著作《算術》中，希臘數學家丟番圖（約公元 210-290 年）解了二次方程，但即使兩個根都是正數，也只給出一個根 (Smith 1951, p. 134)。

許多印度數學家給出了等同於二次公式的規則。 公元前 500 年左右的某些祭壇建築可能代表了方程的解，但即使是這種情況，也沒有關於解法的記錄 (Smith 1953, p. 444)。 印度數學家阿耶波多（475 或 476-550）給出了等比數列求和的規則，表明他了解具有兩個解的二次方程 (Smith 1951, p. 159; Smith 1953, p. 444)，而婆羅摩笈多（約 628 年）似乎只考慮了其中一個解 (Smith 1951, p. 159; Smith 1953, pp. 444-445)。 同樣，摩訶毗羅（約 850 年）基本上掌握了現代的二次方程正根規則。 斯里達拉（約 1025 年）給出了二次公式的正根，正如婆什迦羅（約 1150 年；Smith 1953, pp. 445-446）所述。 波斯數學家花拉子米（約 825 年）和奧馬爾·海亞姆（約 1100 年）也給出了求正根的規則。

韋達是最早用解析方法代替幾何方法求解的人之一，儘管他顯然沒有掌握一般二次方程的思想 (Smith 1953, pp. 449-450)。

二次方程的另一種形式是透過將 (◇) 除以 x^2 得到

a+b/x+c/(x^2)=0
(8)
c(1/(x^2)+b/(cx))+a=0
(9)
c(1/x+b/(2c))^2=c(b/(2c))^2-a=(b^2)/(4c)-(4ac)/(4c)=(b^2-4ac)/(4c).
(10)

因此，

1/x+b/(2c)=+/-(sqrt(b^2-4ac))/(2c)
(11)
1/x=(-b+/-sqrt(b^2-4ac))/(2c)
(12)
x=(2c)/(-b+/-sqrt(b^2-4ac)).
(13)

如果 b^2>>4ac，則此形式很有用，其中 >> 表示遠大於，在這種情況下，常用形式的二次公式可能會為一個根給出不準確的數值結果。 這可以透過定義來避免

q=-1/2[b+sgn(b)sqrt(b^2-4ac)]
(14)

這樣 b 和平方根符號下的項始終具有相同的符號。 現在，如果 b>0，則

q=-1/2(b+sqrt(b^2-4ac))
(15)
1/q=(-2)/(b+sqrt(b^2-4ac))(b-sqrt(b^2-4ac))/(b-sqrt(b^2-4ac))=(-2(b-sqrt(b^2-4ac)))/(b^2-(b^2-4ac))
(16)
=(-2(b-sqrt(b^2-4ac)))/(4ac)=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2ac),
(17)

所以

x_1=q/a=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)
(18)
x_2=c/q=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a).
(19)

同樣，如果 b<0，則

q=-1/2(b-sqrt(b^2-4ac))=1/2(-b+sqrt(b^2-4ac))
(20)
1/q=2/(-b+sqrt(b^2-4ac))(b+sqrt(b^2-4ac))/(b+sqrt(b^2-4ac))=(2(b+sqrt(b^2-4ac)))/(-b^2+(b^2-4ac))
(21)
=(b+sqrt(b^2-4ac))/(-2ac)=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2ac),
(22)

所以

x_1=q/a=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)
(23)
x_2=c/q=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a).
(24)

因此，根始終由 x_1=q/a 和 x_2=c/q 給出。

現在考慮以形式表示的方程

a_2x^2+a_1x+a_0=0,
(25)

解為 z_1 和 z_2。 這些解滿足韋達定理

z_1+z_2=-(a_1)/(a_2)
(26)
z_1z_2=(a_0)/(a_2).
(27)

韋達定理中出現的對稱多項式的性質然後給出

z_1^2+z_2^2=(a_1^2-2a_0a_2)/(a_2^2)
(28)
z_1^3+z_2^3=-(a_1^3-3a_0a_1a_2)/(a_2^3)
(29)
z_1^4+z_2^4=(a_1^4-4a_0a_1^2a_2+2a_0^2a_2^2)/(a_2^4).
(30)
QuadraticEquationFactorable

給定一個二次整係數多項式 x^2+ax+b，考慮對於從某個整數集合 S subset Z 中取出的 a 和 b，有多少個這樣的多項式可以在整數上因式分解。 例如，對於 S={1,2,3,4}，有四個這樣的多項式，

x^2+2x+1=(x+1)^2
(31)
x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
(32)
x^2+4x+3=(x+1)(x+3)
(33)
x^2+4x+4=(x+2)^2.
(34)

下表總結了對於簡單的 S subset Z 和小的 n，此類可因式分解多項式的計數。 上圖還展示了 S={-n,...,n-1,n}（紅色）、S={0,1,...,n}（藍色）和 S={1,2,...,n}（綠色）的可因式分解多項式分數的圖。 令人驚訝的是，[-n,n] 的序列具有遞推方程

a_n=a_(n-1)+2[d(n)+1]+chi_(n^2)(n),
(35)

其中 d(n)=sigma_0(n) 是 n 的除數個數，chi_(n^2)(n) 是平方數的特徵函式。

S subset ZOEIS在 S 上可因式分解，對於 n=0, 1, ...
[-n,n]A0672741, 4, 10, 16, 25, 31, 41, 47, 57, ...
[0,n]A0916261, 2, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 22, ...
[1,n]A0916270, 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, ...

另請參閱

雙二次方程, 卡萊爾圓, 配方法, 圓錐曲線, 三次方程, 費馬分解法, 多項式判別式, 二次式, 二次公式, 四次方程, 五次方程, 六次方程 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 9, 1987.Borwein, P. and Erdélyi, T. "Quadratic Equations." §1.1.E.1a in Polynomials and Polynomial Inequalities. New York:Springer-Verlag, p. 4, 1995.Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 91-92, 1996.King, R. B. Beyond the Quartic Equation. Boston, MA: Birkhäuser, 1996.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Quadratic and Cubic Equations." §5.6 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 178-180, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A067274, A091626, and A091627 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, D. History of Mathematics, Vol. 1. New York: Dover, 1951.Smith, D. History of Mathematics, Vol. 2. New York: Dover, 1953.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Quadratic Function ax^2+bx+c and Its Reciprocal." Ch. 16 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 123-131, 1987.

在 中引用

二次方程

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. “二次方程。” 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/QuadraticEquation.html

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