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圓錐曲線

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圓錐曲線是由一個平面與一個圓錐的一個或兩個錐面相交產生的非退化曲線。對於垂直於圓錐軸線的平面，會產生一個圓。對於不垂直於軸線且僅與一個錐面相交的平面，產生的曲線是橢圓或拋物線（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, p. 8）。與兩個錐面相交的平面產生的曲線是雙曲線（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 8-9）。

橢圓和雙曲線被稱為中心圓錐曲線。

由於這種簡單的幾何解釋，早在圓錐曲線應用於平方反比定律軌道之前，希臘人就已經對其進行了研究。阿波羅尼奧斯撰寫了關於該主題的古代經典著作，題為《圓錐曲線論》。開普勒首先注意到行星軌道是橢圓，然後牛頓能夠利用微積分，在引力與距離的平方成反比的假設下，數學推匯出軌道的形狀。根據軌道物體的能量，軌道形狀可以是四種圓錐曲線中的任何一種。

圓錐曲線可以更正式地定義為一個點 P 的軌跡，該點在一個固定點 F（稱為焦點）和一個固定直線 d（稱為圓錐曲線準線，且 F 不在 d 上）的平面內移動，使得點 P 到焦點 F 的距離與其到準線 d 的距離之比是一個常數 e，稱為離心率。如果 e=0，則圓錐曲線是圓；如果 0<e<1，則圓錐曲線是橢圓；如果 e=1，則圓錐曲線是拋物線；如果 e>1，則是雙曲線。

圓錐曲線，其準線在 x=0，焦點在 (p,0)，離心率 e>0，具有笛卡爾座標方程

y^2+(1-e^2)x^2-2px+p^2=0
(1)

（Yates 1952, p. 36），其中 p 稱為焦引數。代入 p 得到

y^2+(1-e^2)x^2-(2a(1-e^2))/ex+(a^2(1-e^2)^2)/(e^2)=0,
(2)

對於橢圓，

y^2=4a(x-a),
(3)

對於拋物線，以及

y^2+(1-e^2)x^2-(2a(e^2-1))/ex+(a^2(e^2-1)^2)/(e^2)=0
(4)

對於雙曲線。

焦引數為 p 的圓錐曲線的極座標方程由下式給出

r=(pe)/(1+ecostheta).
(5)

以焦點為垂足點的圓錐曲線的垂足曲線是圓或直線。特別是，橢圓垂足曲線和雙曲線垂足曲線都是圓，而拋物線垂足曲線是一條直線（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 25-27）。

ConicSection5Points

平面上的五個點確定一個圓錐曲線（Coxeter and Greitzer 1967, p. 76；Le Lionnais 1983, p. 56；Wells 1991），平面上的五條切線也是如此（Wells 1991）。這源於圓錐曲線是二次曲線的事實，其一般形式為

ax^2+2bxy+cy^2+dx+fy+g=0,
(6)

因此，兩邊同除以 a 得到

x^2+2b^'xy+c^'y^2+d^'x+f^'y+g^'=0
(7)

剩下五個常數。因此，五個點 (x_i,y_i)，其中 i=1, ..., 5，唯一地確定了這些常數。從位於圓錐曲線上的五個點進行幾何構造稱為 Braikenridge-Maclaurin 構造。此圓錐曲線的顯式方程由以下方程給出

|x^2 xy y^2 x y 1; x_1^2 x_1y_1 y_1^2 x_1 y_1 1; x_2^2 x_2y_2 y_2^2 x_2 y_2 1; x_3^2 x_3y_3 y_3^2 x_3 y_3 1; x_4^2 x_4y_4 y_4^2 x_4 y_4 1; x_5^2 x_5y_5 y_5^2 x_5 y_5 1|=0.
(8)

圓錐曲線在三線座標中的一般方程是

ualpha^2+vbeta^2+wgamma^2+2fbetagamma+2ggammaalpha+2halphabeta=0
(9)

（Kimberling 1998, p. 234）。對於以三線座標 alpha:beta:gamma 指定的五個點，它們確定的圓錐曲線由下式給出

|alpha^2 beta^2 gamma^2 betagamma gammaalpha alphabeta; alpha_1^2 beta_1^2 gamma_1^2 beta_1gamma_1 gamma_1alpha_1 alpha_1beta_1; alpha_2^2 beta_2^2 gamma_2^2 beta_2gamma_2 gamma_2alpha_2 alpha_2beta_2; alpha_3^2 beta_3^2 gamma_3^2 beta_3gamma_3 gamma_3alpha_3 alpha_3beta_3; alpha_4^2 beta_4^2 gamma_4^2 beta_4gamma_4 gamma_4alpha_4 alpha_4beta_4; alpha_5^2 beta_5^2 gamma_5^2 beta_5gamma_5 gamma_5alpha_5 alpha_5beta_5|=0.
(10)

（Kimberling 1998, p. 235）。

兩個不重合或不具有整條公共直線的圓錐曲線不能在超過四個點處相交（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 24 和 160）。存在一個與四條直線相切的無限圓錐曲線族。然而，在平面分割將平面切割成的十一個區域中，只有五個區域可以包含與所有四條直線相切的圓錐曲線。拋物線只能在一個區域中出現（該區域也包含橢圓和雙曲線的一個分支），並且唯一的封閉區域僅包含橢圓。

設一個 2n 邊的多邊形內接於給定的圓錐曲線，多邊形的邊根據某種確定的約定交替地稱為“奇數”邊和“偶數”邊。那麼，奇數邊與不相鄰的偶數邊相交的 n(n-2) 個點位於 n-2 階曲線上（Evelyn et al. 1974, p. 30）。

另請參閱

Braikenridge-Maclaurin 構造, Braikenridge-Maclaurin 定理, Brianchon 定理, 中心圓錐曲線, 圓, 外接圓錐曲線, 圓錐, 圓柱截線, 離心率, 橢圓, 橢球截面, Fermat 圓錐曲線, 焦引數, 四圓錐曲線定理, Frégier 定理, 雙曲線, 內切圓錐曲線, 錐面, 拋物線, Pascal 定理, 橢圓的平面分割, 二次曲線, Seydewitz 定理, 偏斜圓錐曲線, 球面截線, 球狀截面, Steiner 定理, 三圓錐曲線定理, 環面截線 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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在 中引用

圓錐曲線

請引用為

Weisstein, Eric W. "Conic Section." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ConicSection.html

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