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外接圓錐曲線

外接圓錐曲線是穿過三角形頂點的圓錐曲線 (Kimberling 1998, p. 235)。每個外接圓錐曲線都有如下形式的三線方程

x/alpha+y/beta+z/gamma=0
(1)

其中 x, y, 和 z 是邊長 a, b, 和 c 的函式，且 xyz!=0, 反之，每個外接圓錐曲線都有這樣的方程。

外接圓錐曲線的中心由下式給出

x(-ax+by+cz):y(ax-by+cz):z(ax+by-cz)
(2)

(Kimberling 1998, p. 235)。

等角共軛將三角形的內部對映到自身。這種對映將直線轉換為外接圓錐曲線。圓錐曲線的型別取決於直線 d 是否與外接圓 C^' 相交，

1. 如果 d 不與 C^' 相交，則等角變換為橢圓；

2. 如果 d 與 C^' 相切，則變換為拋物線；

3. 如果 d 與 C^' 相交，則變換為雙曲線，如果該直線穿過外心，則為等軸雙曲線

(Casey 1893, Vandeghen 1965)。

直線

xalpha+ybeta+zgamma=0
(3)

在外接圓錐曲線三角形的外接圓上相交於 0、1 或 2 個點，如果圓錐曲線是橢圓、拋物線或雙曲線 (Kimberling 1998, p. 235)。

如果滿足以下條件，則外接圓錐曲線為拋物線

x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-2yzbc-2zxca-2xyab=0
(4)

如果滿足以下條件，則外接圓錐曲線為等軸雙曲線

xcosA+ycosB+zcosC=0.
(5)

在後一種情況下，雙曲線穿過垂心，且中心位於九點圓上 (Kimberling 1998, p. 236)，這個結果被稱為Feuerbach 圓錐曲線定理 (Coolidge 1959, p. 198)。

下表總結了一些外接圓錐曲線。

外接圓錐曲線Kimberling中心
外接圓X_3外心 O
旁心六線橢圓X_3外心 O
Feuerbach 雙曲線X_(11)Feuerbach 點 F
Jerabek 雙曲線X_(125)Jerabek 雙曲線的中心
Johnson 外接圓錐曲線X_5九點圓圓心
Kiepert 雙曲線X_(115)Kiepert 雙曲線的中心
MacBeath 外接圓錐曲線X_6等角中線點 K
Steiner 外接橢圓X_2三角形重心 G

另請參閱

外接圓, 外接雙曲線, 圓錐曲線, de Longchamps 橢圓, Feuerbach 雙曲線, Feuerbach 圓錐曲線定理, 內切圓錐曲線, 等角共軛點, Jerabek 雙曲線, Johnson 外接圓錐曲線, Kiepert 雙曲線, MacBeath 外接圓錐曲線, Steiner 外接橢圓

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參考文獻

Brianchon, C.-J. and Poncelet, J.-V. "Recherches sur la détermination d'une hyperbole équilatère, au moyen de quatre conditions données." Ann. des Math. 11, 205-220, 1821.Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples, 2nd rev. enl. ed. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1893.Coolidge, J. L. A Treatise on Algebraic Plane Curves. New York: Dover, p. 198, 1959.Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Eves, H.; Kimberling, C.; Lossers, O. P.; and Yff, P. "Problem E2990 and Solution." Amer. Math. Monthly 93, 132-133, 1983.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Vandeghen, A. "Some Remarks on the Isogonal and Cevian Transforms. Alignments of Remarkable Points of a Triangle." Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.

在 中被引用

外接圓錐曲線

引用為

Weisstein, Eric W. "外接圓錐曲線。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Circumconic.html

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