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等角共軛

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IsogonalTheorem

點 X 關於 三角形 DeltaABC 平面的等角共軛 X^(-1) 是透過反射直線 AX、 BX 和 CX 關於 A、 B 和 C 處的 角平分線 來構造的。然後，這三條反射線在等角共軛點處 共點 (Honsberger 1995, pp. 55-56)。在較早的文獻中，等角共軛點也稱為對位點 (Gallatly 1913)、Gegenpunkte (Gallatly 1913) 和焦點對 (Morley 1954)。

具有座標的點的等角共軛的 三線座標

alpha:beta:gamma
(1)

是

alpha^(-1):beta^(-1):gamma^(-1).
(2)

以下標籤列出了一些等角共軛點對。

三角形中心等角共軛
外心 O垂心 H
克勞森點X_(63)
德朗尚點X_(64)
費爾巴哈點X_(59)
第一布羅卡點 Omega第二布羅卡點 Omega^'
第一費馬點 X第一等力點 S
第一等力點 S第一費馬點 X
熱爾崗點X_(55)
內心 I內心 I
第二拿破崙點X_(62)
等角中點中點 M
科斯尼塔點 Ko九點中心 N
中點 M等角中點
納格爾點 NaX_(56)
九點中心科斯尼塔點 Ko
垂心 H外心 O
垂足三角形的垂心X_(96)
第一拿破崙點X_(61)
希夫勒點切點三角形的垂心
第二布羅卡點 Omega^'第一布羅卡點 Omega
第二費馬點 X^'第二等力點 S^'
第二等力點 S^'第二費馬點 X^'
斯皮克中心 SpX_(58)
外心對稱點 K三角形重心 G
垂足三角形的外心對稱點X_(97)
第三布羅卡點 Omega^('')第三冪心
三角形重心 G外心對稱點 K
IsogonalTriangles

在上圖中，P 和 Q 是等角共軛點，

x/y=s/r
(3)

(Honsberger 1995, pp. 54-55)。

等角共軛將 三角形 的內部對映到自身。此對映將直線轉換為 外接圓錐曲線。圓錐曲線的型別取決於直線 d 是否與 外接圓 C^' 相交，

1. 如果 d 不與 C^' 相交，則 等角變換 是 橢圓；

2. 如果 d 與 C^' 相切，則變換是 拋物線；

3. 如果 d 與 C^' 相交，則變換是 雙曲線，如果該線穿過 外心，則為 直角雙曲線

(Casey 1893, Vandeghen 1965)。

外接圓 上一點的等角共軛是 無窮遠點（反之亦然）。一個點的 垂足三角形 的邊 垂直於 相應的 多邊形頂點 與等角共軛的連線線。一組點的等角共軛是其等角共軛點的 軌跡。

等張 共軛和等角共軛的乘積是 射影變換，它將 三角形 的邊變換為其自身 (Vandeghen 1965)。

另請參閱

反極三角形, 射影變換, 等角線, 等角中點, 等角變換, 等張共軛, 無窮遠線, 外心對稱線

使用 探索

參考文獻

Barrow, D. F. "A Theorem about Isogonal Conjugates." Amer. Math. Monthly 20, 251-253, 1913.Casey, J. "Theory of Isogonal and Isotomic Points, and of Antiparallel and Symmedian Lines." Supp. Ch. §1 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 165-173, 1888.Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples, 2nd rev. enl. ed. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1893.Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 49, 1971.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 93, 1967.Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Gallatly, W. "Counter Points." Ch. 9 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 57 and 74-85, 1913.Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 53-57, 1995.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 153-158, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Lachlan, R. §10 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 55-57, 1893.Morley, F. and Morley, F. V. Inversive Geometry. New York: Ginn, 1954.Sigur, S. "Where are the Conjugates?" Forum Geom. 5, 1-15, 2005. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200501index.html.Vandeghen, A. "Some Remarks on the Isogonal and Cevian Transforms. Alignments of Remarkable Points of a Triangle." Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.

在 中引用

等角共軛

請引用為

Weisstein, Eric W. "等角共軛。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/IsogonalConjugate.html

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