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內心

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內心 I 是多邊形的內切圓或多面體的內切球（如果存在）的中心。對應的內切圓或內切球的半徑被稱為內半徑。

內心可以構造為角平分線的交點。它也是到三角形各邊距離相等的內部點。它具有三線座標 1:1:1，即三角形中心函式

alpha_1=1,
(1)

和齊次重心座標 (a,b,c)。它是Kimberling 中心 X_1。

對於具有笛卡爾頂點的三角形 (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), 內心的笛卡爾座標由下式給出

(x_I,y_I)=((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c)).
(2)

內心和外心之間的距離是 sqrt(R(R-2r)), 其中 R 是外接圓半徑，r 是內半徑，這個結果被稱為尤拉三角形公式。

內心位於內格爾線和索迪線上，並且僅對於等腰三角形位於尤拉線上。內心是亞當斯圓、康威圓和內切圓的中心。它位於達布三次曲線、M'Cay 三次曲線、紐伯格三次曲線、垂足三次曲線和湯姆森三次曲線上。它也位於費爾巴哈雙曲線上。

對於等邊三角形，外心 O, 三角形重心 G, 九點圓圓心 F, 垂心 H, 和 de Longchamps 點 Z 都與 I 重合。

內心與各個命名中心之間的距離由下式給出

IF=r
(3)
IG=sqrt(-1/(9(a+b+c))(a^3-2ba^2-2ca^2-2b^2a-2c^2a+9bca+b^3+c^3-2bc^2-2b^2c))
(4)
IGe=(4ILr^2)/(a^2-2ab+b^2-2ac-2bc+c^2)
(5)
IH=sqrt(2r^2+4R^2-S_omega)
(6)
IK=1/(a^2+b^2+c^2)sqrt(-1/((a+b+c))(abc(a^4-2ba^3-2ca^3+2b^2a^2+2c^2a^2+bca^2-2b^3a-2c^3a+bc^2a+b^2ca+b^4+c^4-2bc^3+2b^2c^2-2b^3c)))
(7)
IL=1/r(sqrt(a^4-ba^3-ca^3+bca^2-b^3a-c^3a+bc^2a+b^2ca+b^4+c^4-bc^3-b^3c))
(8)
IM=(2(a^2+b^2+c^2)IK)/(a^2-2ab+b^2-2ac-2bc+c^2)
(9)
IN=(2DeltaOI^2)/(abc)
(10)
INa=3IG
(11)
IO=sqrt(R(R-2r))
(12)
=(sqrt(abc(a^3-a^2b+b^3-a^2c+3abc-b^2c-ac^2-bc^2+c^2)))/(4Delta)
(13)
ISp=3/2IG,
(14)

其中 F 是費爾巴哈點, G 是三角形重心, Ge 是格爾貢點, H 是垂心, K 是外心對稱點, L 是de Longchamps 點, M 是中點內心, N 是九點圓圓心, Na 是內格爾點, Sp 是Spieker 中心, r 是內半徑, R 是外接圓半徑, Delta 是三角形面積, 並且 S_omega 是 Conway 三角形符號。

下表總結了作為 Kimberling 中心的命名三角形的內心。

三角形Kimberling內心
反補三角形X_8內格爾點
外法三角形X_3外心
外垂足三角形X_4垂心
外切線三角形X_3外心
切點三角形X_(177)第一中弧點
尤拉三角形X_(946)X_1 和 X_4 的中點
旁心三角形X_(164)旁心三角形的內心
外切三角形X_(40)Bevan 點
第一 Morley 三角形X_(356)第一 Morley 中心
第一 Yff 圓三角形X_1內心
內拿破崙三角形X_2三角形重心
內切三角形X_1內心
Lucas 中心三角形X_(1151)等角共軛點 X_(1131)
中點三角形X_(10)Spieker 中心
垂足三角形X_4垂心
外拿破崙三角形X_2三角形重心
參考三角形X_1內心
第二 Yff 圓三角形X_1內心
Stammler 三角形X_3外心
切線中弧三角形X_1內心
切線三角形X_3外心

一個三角形的內心和旁心構成一個正心組。

內心相對於外接圓的圓冪是

p=(a_1a_2a_3)/(a_1+a_2+a_3)
(15)

（Johnson 1929, p. 190）。

如果三角形 DeltaA_1H_2H_3, DeltaA_2H_3A_1, 和 DeltaA_3H_1H_2 的內心分別是 X_1, X_2, 和 X_3, 那麼 X_2X_3 等於且平行於 I_2I_3, 其中 H_i 是垂足，I_i 是三角形的內心。此外，X_1, X_2, X_3, 是 I 關於三角形 DeltaI_1I_2I_3 的邊的反射（Johnson 1929, p. 193）。

另請參閱

外心, 圓內接四邊形, 旁心, 格爾貢點, 內心三角形, 內切圓, 內半徑, 垂心, 正心質心, 內格爾線

使用 探索

參考文獻

Carr, G. S. Formulas and Theorems in Pure Mathematics, 2nd ed. New York: Chelsea, p. 622, 1970.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 10, 1967.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, p. 58, 1991.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 182-194, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "Incenter." http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/incenter.html.Kimberling, C. "Encyclopedia of Triangle Centers: X(1)=Incenter." http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X1.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 115-116, 1991.

在 上被引用

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請引用為

Weisstein, Eric W. "內心。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/Incenter.html

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