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盧卡斯中心三角形

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LucasCentralTriangle

盧卡斯中心三角形（此處首次提出的術語）是由給定參考三角形 DeltaABC的盧卡斯圓的圓心形成的三角形 DeltaL_AL_BL_C。

它具有三線頂點矩陣

[a(2S+S_A) bS_B cS_C; aS_A b(2S+S_B) cS_C; aS_A bS_B c(2S+S_C)],
(1)

其中 S, S_A, S_B, 和 S_C 是 康威三角形符號。

盧卡斯中心三角形的邊長為

a^'=(2R(abc+b^2R+c^2R))/((ac+2bR)(ab+2cR))a
(2)
b^'=(2R(abc+a^2R+c^2R))/((bc+2aR)(ab+2cR))b
(3)
c^'=(2R(abc+a^2R+b^2R))/((bc+2aR)(ac+2bR))c.
(4)

它的面積由下式給出

Delta=(abcR^2sqrt(3a^2b^2c^2+4abc(a^2+b^2+c^2)R+4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)R^2))/((bc+2aR)(ac+2bR)(ab+2cR)),
(5)

其中 R 是參考三角形的外接圓半徑。

外接圓盧卡斯中心三角形是盧卡斯中心圓。

下表給出了對於 Kimberling 中心 X_n ( n<=1000 )，盧卡斯中心三角形的中心與參考三角形的中心之間的關係。

X_n盧卡斯中心三角形的中心X_n參考三角形的中心
X_1內心X_(1151)等角共軛點 X_(1131) 的
X_(175)等周點X_3外心
X_(481)第一 Eppstein 點X_(371)Kenmotu 點

Kimberling 中心 X_i ( i=3, 6, 371 和 588) 的 Cevian 三角形與盧卡斯中心三角形透視。事實上，位於三線性三次曲線

sum_(cyclic)a^2S_A[c(b^2+2S)beta^2gamma-b(c^2+2S)betagamma^2]
(6)

上的任何點的 Cevian 三角形都與盧卡斯中心三角形透視（P. Moses, 私人通訊，2005 年 2 月 3 日）。X_i ( i=3 和 6) 的 Anticevian 三角形也與盧卡斯中心三角形透視（P. Moses, 私人通訊，2005 年 1 月 21 日）。下表總結了盧卡斯中心三角形和其他命名三角形的一些透視中心。

三角形透視中心
盧卡斯內三角形7cosA+4sinA
盧卡斯切線三角形3cosA+2sinA
Symmedial 三角形2cosA+sinA

另請參閱

盧卡斯中心圓, 盧卡斯圓, 盧卡斯圓根圓, 盧卡斯切線三角形

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引用為

Weisstein, Eric W. "盧卡斯中心三角形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LucasCentralTriangle.html

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