垂心三角形

給定一個三角形 ，頂點為從 的每個頂點引出的高的端點的三角形 被稱為垂心三角形，或有時稱為高三角形。 三條線 ， 和 在 的垂心 處共點。

因此，垂心三角形既是關於 的垂足三角形，也是塞瓦三角形 (Kimberling 1998, p. 156)。 它也是三角形質心 的等 Cevian 三角形。

它的三線頂點矩陣是

垂心三角形的面積由下式給出

其中 是 的外接圓半徑。

在給定的銳角三角形中內接的任何三角形中，垂心三角形具有最小周長 (Johnson 1929, pp. 161-165)。 垂心三角形的邊長由下式給出

垂心三角形的內切圓半徑是

其中 是參考三角形的外接圓半徑 (Johnson 1929, p. 191)，並且外接圓半徑是

對於鈍角三角形或直角三角形，半周長是

在銳角三角形的情況下簡化為

其中 是 的三角形面積，並且 (Johnson 1929, p. 191)。

給定一個三角形 ，構造垂心三角形 並分別確定 、 和 的外心點 、 和 。 然後，角三角形 的 -外心線是三角形 的 -中線，對於 (Honsberger 1995, p. 75) 也是如此。 此外，角三角形 的 -中線是三角形 的 -外心線，對於其他兩個角三角形也是如此。

最後，三個角三角形 、 和 的 尤拉線 穿過 尤拉點，並在三角形 的 九點圓 上的點 處交匯，使得以下條件之一成立

(Thébault 1947, 1949; Thébault et al. 1951)。

垂心三角形的邊與 外接圓 在頂點處的切線平行 (Johnson 1929, p. 172)。 這等效於以下陳述：從三角形的外心到頂點的每條線始終垂直於垂心三角形的對應邊 (Honsberger 1995, p. 22)，以及垂心三角形和切線三角形在 Kimberling 中心 處是位似的。

垂心三角形的三角形質心具有三角形中心函式

(Casey 1893, Kimberling 1994)，即 Kimberling 中心 。

(Casey 1893, Kimberling 1994)，即 Kimberling 中心 。

下表給出了垂心三角形的中心，以參考三角形的中心表示，這些中心對應於 Kimberling 中心 。