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九點圓

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Nine-PointCircle

九點圓，也稱為尤拉圓或費爾巴哈圓，是穿過任意參考三角形 DeltaABC 的頂點向對邊所作垂足 H_A, H_B, 和 H_C 的圓。尤拉在 1765 年證明它也穿過 DeltaABC 各邊的中點 M_A, M_B, M_C。根據費爾巴哈定理，九點圓也穿過連線頂點和垂心 H 的線段的中點 E_A, E_B, 和 E_C。這些點通常被稱為尤拉點。

這三組點總共構成九個點，因此該圓得名。

九點圓是外接圓的補圓。

九點圓具有圓函式

l=-1/2cosA,
(1)

給出方程

calphabeta+abetagamma+bgammaalpha-1/2(aalpha+bbeta+cgamma)(alphacosA+betacosB+gammacosC)=0.
(2)

九點圓的圓心 N 稱為九點圓圓心，是 Kimberling 中心 X_5。九點圓的半徑是

R_N=1/2R,
(3)

其中 R 是參考三角形的外接圓半徑。

兩個費馬點 X 和 X^' 的中點位於九點圓上，由三角形的頂點及其垂足三角形確定的角三角形的尤拉線的交點也位於九點圓上。九點圓也穿過 Kimberling 中心 X_i，其中 i=11 （費爾巴哈點），113, 114, 115 （Kiepert 雙曲線的中心），116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 （Jerabek 雙曲線的中心），126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 1312, 1313, 1560, 1566, 2039, 2040 和 2679。

它與Stevanović 圓正交。

九點圓平分從垂心到外接圓上任意點的線段。

如果 I 是內心，J_A, J_B, 和 J_C 是參考三角形 DeltaABC 的外心，那麼三角形 DeltaJ_AJ_BJ_C, DeltaIJ_BJ_C, DeltaIJ_CJ_A, 和 DeltaIJ_AJ_B 的九點圓都與 DeltaABC 的外接圓重合。

FeuerbachTriangle

參考三角形的內切圓和三個外切圓都與九點圓相切。此外，九點圓上與外切圓相切的三個點構成費爾巴哈三角形的頂點 (Kimberling 1998, p. 158)。

NinePointCircles

給定四個任意點，每次取三個點形成的三角形的四個九點圓是共點的 (Lemoine 1904; Wells 1991, p. 209; Schröder 1999)。此外，如果四個點不構成垂心組，則存在唯一一條穿過它們的直角雙曲線，其中心由每次取三個點的九點圓的交點給出 (Wells 1991, p. 209)。最後，四個九點圓的交點也是從四個點中的每一個點向由其他三個點組成的三角形的邊所作垂線的垂足所確定的四個圓的交點 (Schröder 1999)。

在一個三角形中，頂點關於九點圓的圓冪之和為

p_A+p_B+p_C=1/4(a^2+b^2+c^2).
(4)

此外，

NA^2+NB^2+NC^2+NH^2=3R^2,
(5)

其中 N 是九點圓圓心，H 是垂心，R 是外接圓半徑。

所有內接於給定圓且具有相同垂心的三角形都具有相同的九點圓。

九點圓的透視中心是中心函式為

alpha=1/(a(-a^4+b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2))
(6)

(F. van Lamoen, 私人通訊，1 月 28 日，2005 年)，它不是 Kimberling 中心，而是 X_(1078) 的等角共軛點，並且位於直線 (4, 160), (5, 141), (53, 232), (66, 2548), (184, 2980), (232, 427), 和 (311, 325) 上。

另請參閱

阿波羅尼奧斯點, 完全四邊形, 八點圓定理, 尤拉點, 費爾巴哈定理, 費爾巴哈三角形, 豐特內定理, 格里菲斯定理, 哈特圓, 九點圓圓心, 九點圓錐曲線, 垂心組, 直角雙曲線

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參考文獻

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在 上引用

九點圓

請引用為

Eric W. Weisstein. "九點圓." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/Nine-PointCircle.html

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