Kiepert 雙曲線

Kiepert 雙曲線是一個雙曲線和三角形圓錐曲線，它與勒穆瓦納問題的解及其推廣到在給定三角形的邊上構造等腰三角形有關。

構造的三角形的頂點在三線座標中由下式給出

			(1)
			(2)
			(3)

其中 是等腰三角形的底角。

Kiepert (1869) 表明，連線給定三角形的頂點和相應的等腰三角形的頂點的直線共點。 交點的三線座標是

(4)

當底角變化時，該點的軌跡由具有三線座標的曲線給出

(5)

或等價地

(6)

(Kimberling 1998, p. 237)。 這條曲線是一個直角雙曲線，稱為 Kiepert 雙曲線。

Kiepert 中心是 Kimberling 中心 ，它具有等價的三角形中心函式

			(7)
			(8)

(Kimberling 1998, p. 86)。

Kiepert 雙曲線透過 Kimberling 中心 ，對於 ，(三角形重心)，4 (垂心)，10 (Spieker 中心；即， 的中點三角形的內心； Eddy 和 Fritsch 1994)，13 (第一費馬點)，14 (第二費馬點)，17 (第一拿破崙點)，18 (第二拿破崙點)，76 (第三布羅卡點)，83 (等角共軛點的布羅卡中點； Eddy 和 Fritsch 1994)，94, 96, 98 (塔裡點)，226, 262, 275, 321, 485 (外 Vecten 點)，486 (內 Vecten 點)，598, 671, 801, 1029, 1131, 1132, 1139 (內五邊形點)，1140 (外五邊形點)，1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593, 2671 (第一黃金 Arbelos 點), 2672 (第二黃金 Arbelos 點), 2986, 和 2996

下表總結了這些點的子集及其對應的角 (Eddy 和 Fritsch 1994, p. 193; Kimberling 1998, pp. 176-178 和 237)。 這裡， 是布羅卡角。

Kimberling 中心	三角形中心
	頂點
	頂點
	頂點
	三角形重心	0
	垂心
	Spieker 中心
	第一費馬點
	第二費馬點
	第三布羅卡點
	等角共軛點的布羅卡中點

Eddy 和 Fritsch (1994) 也表明 Kiepert 雙曲線透過Spieker 中心。

Kiepert 雙曲線的漸近線是布羅卡軸與外接圓的交點的西姆森線。

Kiepert 雙曲線的等角共軛是布羅卡軸，而等張共軛是透過三角形重心 和外心 的直線 。

將三線座標寫成

(9)

其中 是到長度為 的邊 對邊的距離，並使用點到線距離公式，其中 寫成 ,

(10)

其中 和 給出公式

			(11)
			(12)

將此方程化為公分母，然後得到關於 和 的二次方程，這是一個圓錐曲線（實際上是一個雙曲線）。 該曲線也可以寫成 ，當 在 上變化時。