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費馬點

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在給定三角形 △ABC DeltaABC 中，所有角都小於 120 degrees (2pi/3)，第一費馬點 X 或 F_1 (有時簡稱為“費馬點”、托里切利點或第一等角中心) 是點 X，它使得到 A、 B 和 C 的距離之和最小，

|AX|+|BX|+|CX|.
(1)

這個問題被稱為 費馬問題 或 斯坦納線段問題 (Courant and Robbins 1941)，由費馬向托里切利提出。托里切利的解法由他的學生維維亞尼於 1659 年發表 (Johnson 1929)。第一費馬點具有等價的三角形中心函式

alpha=csc(A+1/3pi)
(2)
alpha=bc[c^2a^2+(c^2+a^2-b^2)^2][a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2][4Delta-sqrt(3)(b^2+c^2-a^2)]
(3)

並且是 Kimberling 中心 X_(13) (Kimberling 1998, p. 67)。

如果三角形的所有角都小於 120 degrees (2pi/3)，則第一費馬點是內部點 X，從該點每條邊都張角 120 degrees，即，

∠BXC=∠CXA=∠AXB=120 degrees.
(4)

第一費馬點可以透過在給定三角形外部繪製等邊三角形並連線相對頂點來構造。圖中的三條對角線然後相交於第一費馬點。

第二費馬點 X^' 或 F_2 以類似的方式構造，使用指向內部的等邊三角形。它具有三角形中心函式

alpha=csc(A-1/3pi)
(5)

並且是 Kimberling 中心 X_(14) (Kimberling 1998, p. 68)。

反足三角形 X 的 X 是等邊三角形，面積為面積

Delta^'=2Delta[cotomegacot(1/3pi)+1]
(6)
=2Delta(1/3sqrt(3)cotomega+1),
(7)

其中 omega 是 Brocard 角。 反足三角形 X' 的 X^' 也是一個等邊三角形，面積為面積

Delta^('')=2Delta[cotomegacot(1/3pi)-1]
(8)
=2Delta(1/3sqrt(3)cotomega-1).
(9)

費馬點也稱為等角中心，因為它們是等力點的等角共軛。

FermatPointCollinearity

兩個費馬點與 DeltaABC 的類似中線點共線，並且與線段 GH 的中點共線，其中 G 是三角形重心，H 是 DeltaABC 的垂心（左圖）。此外，兩個費馬點的中點位於 DeltaABC 的九點圓上（右圖）。

給定三個正實數 l,m,n，“廣義”費馬點是給定銳角三角形 DeltaABC 的點 P，使得

l·PA+m·PB+n·PC
(10)

為最小值 (Greenberg and Robertello 1965, van de Lindt 1966, Tong and Chua 1995)

另請參閱

Brocard 角, 等邊三角形, 費馬軸線, 第一費馬點, 等力點, 等角共軛, Lester 圓, 第二費馬點, 斯坦納線段問題

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參考文獻

Courant, R. and Robbins, H. 什麼是數學？，第二版。 牛津，英格蘭：牛津大學出版社，1941 年。Gallatly, W. "等角點。" §151 in 現代三角形幾何，第二版。 倫敦：霍奇森，p. 107, 1913.Greenberg, I. and Robertello, R. A. "三工廠問題。" 數學雜誌 38, 67-72, 1965.Honsberger, R. 數學瑰寶 I。 華盛頓特區：美國數學協會，pp. 24-34, 1973.Johnson, R. A. 現代幾何：三角形和圓的幾何學基礎教程。 波士頓，馬薩諸塞州：霍頓·米夫林，pp. 221-222, 1929.Kimberling, C. "三角形平面中的中心點和中心線。" 數學雜誌 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "三角形中心和中心三角形。" 國會 Numer. 129, 1-295, 1998.Kimberling, C. "費馬點。" http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/fermat.html.Kimberling, C. "三角形中心百科全書：X(13)=第一等角中心。" http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X13.Kimberling, C. "三角形中心百科全書：X(14)=第二等角中心。" http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X14.Mowaffaq, H. "尋找費馬點的高等微積分方法。" 數學雜誌 67, 29-34, 1994.Nelson, D. "拿破崙再探。" 數學公報 58, 108-116, 1974.Pottage, J. 幾何研究。 閱讀，馬薩諸塞州：艾迪生-韋斯利，1983.Spain, P. G. "三角形的費馬點。" 數學雜誌 69, 131-133, 1996.Tong, J. and Chua, Y. S. "廣義費馬點。" 數學雜誌 68, 214-215, 1995.van de Lindt, W. J. "三工廠問題的幾何解法。" 數學雜誌 39, 162-165, 1966.Wells, D. 企鵝好奇與趣味幾何詞典。 米德爾塞克斯，英格蘭：企鵝出版社，pp. 75-76, 1991.

在 中被引用

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引用為

Weisstein, Eric W. "費馬點。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FermatPoints.html

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