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三角形

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三角形是一個三邊的多邊形，有時（但不常見）稱為三邊形。每個三角形都有三條邊和三個角，其中一些角可能相同。在直角三角形的情況下，三角形的邊被賦予特殊的名稱，與直角相對的邊稱為斜邊，另外兩條邊稱為直角邊。所有三角形都是凸的並且是雙中心的。三角形包圍的平面部分稱為三角形內部，而其餘部分是外部。

對三角形的研究有時被稱為三角形幾何學，它是幾何學中一個內容豐富的領域，充滿了美妙的成果和意想不到的聯絡。1816 年，在研究三角形的布羅卡點時，克雷勒驚呼：“如此簡單的圖形，三角形的性質竟然如此豐富，真是太神奇了。其他圖形可能還有多少未知的性質呢？”（Wells 1991，第 21 頁）。

Triangle

通常以逆時針順序將三角形的頂點標記為A，B，C（或 A_1，A_2，A_3）。然後，頂點角使用與頂點本身相同的符號表示。符號 alpha，beta，gamma（或 alpha_1，alpha_2，alpha_3）有時也被使用（例如，Johnson 1929），但這種約定會導致與三線性座標 alpha:beta:gamma 的常用表示法產生不必要的混淆，因此不建議使用。與角 A，B 和 C（或 A_1，A_2，A_3）相對的邊分別標記為 a，b，c（或 a_1，a_2，a_3），這些符號也表示邊的長度（正如頂點處的符號表示頂點本身以及頂點角，取決於上下文）。

Triangles

如果三角形的三個角都是銳角，則該三角形稱為銳角三角形；如果三角形有一個鈍角，則該三角形稱為鈍角三角形；如果三角形有一個直角，則該三角形稱為直角三角形。所有邊都相等的三角形稱為等邊三角形，兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，所有邊長度都不同的三角形稱為不等邊三角形。一個三角形可以同時是直角三角形和等腰三角形，在這種情況下，它被稱為等腰直角三角形。

三角形的半周長 s 定義為其周長的一半，

s=1/2p
(1)
=1/2(a+b+c).
(2)

三角形的面積可以使用海倫公式計算

Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)).
(3)

還有許多其他公式可以計算三角形面積。

半周長的定義導致了以下定義

s_a=1/2(b+c-a)
(4)
=s-a
(5)
=rcot(1/2A)
(6)
s_b=1/2(c+a-b)
(7)
=s-b
(8)
=rcot(1/2B)
(9)
s_c=1/2(a+b-c)
(10)
=s-c
(11)
=rcot(1/2C),
(12)

其中 r 是內切圓半徑。 康威三角形表示法 S，S_A，S_B 和 S_C 也存在類似的關係。

TriangleAngles

三角形的角度之和為 180 degrees=pi 弧度（至少在歐幾里得幾何中；這個陳述在非歐幾里得幾何中不成立）。可以透過以下方式建立。令 DAE∥BC （DAE 與 BC 平行），在上面的圖中，角 alpha 和 beta 滿足 alpha=∠DAB=∠ABC 和 beta=∠EAC=∠ACB，如所示。新增 gamma，得出

alpha+beta+gamma=180 degrees,
(13)

因為線段的角度之和必須等於兩個直角。因此，三角形的角度之和也為 180 degrees。

TriangleParallelLine

如果在三角形的一邊上繪製一條平行線，使其與另外兩條邊相交，則它會按比例分割它們，即

(AX)/(XC)=(BY)/(YC)
(14)

（Jurgensen 1963，第 251 頁）。換句話說，與三角形的一邊平行的直線切割另外兩條邊會建立一個與第一個三角形相似的三角形。

三角形的允許邊長 a、b 和 c 由以下不等式組給出：a>0、b>0、c>0、a+b>c、b+c>a、a+c>b，這是所謂的三角形不等式的概括。三角形的角和邊也滿足一系列其他的精妙的三角形不等式。

指定兩個角 A 和 B 以及一條邊 a 可以唯一確定一個三角形，其面積為

Delta=(a^2sinBsinC)/(2sinA)
(15)
=(a^2sinBsin(pi-A-B))/(2sinA)
(16)

（AAS定理）。指定一個角 A，一條邊 c，和一個角 B 可以唯一確定一個三角形，其面積為

Delta=(c^2)/(2(cotA+cotB))
(17)

（ASA定理）。給定一個三角形，兩條邊分別為 a（較小邊）和 c（較大邊），已知一個角 A 是銳角且與邊 a 相對。如果 sinA<a/c，則存在兩個可能的三角形。如果 sinA=a/c，則存在一個可能的三角形。如果 sinA>a/c，則不存在可能的三角形。這就是ASS定理。設 a 為底邊長度，h 為高，則

Delta=1/2ah
(18)
=1/2acsinB
(19)

（SAS定理）。最後，如果指定了所有三條邊，則可以確定一個唯一的三角形，其面積由海倫公式或

Delta=(abc)/(4R),
(20)

給出

TrilinearCoordinates

其中 R 是外接圓半徑。這就是SSS定理。

TriangleConstruction

在三角形幾何中，通常使用相對於給定所謂的參考三角形的每條邊的距離定義的三元座標非常方便。這種座標的一種形式被稱為三線性座標 alpha:beta:gamma，所有座標都具有相同符號對應於三角形內部，一個座標為零對應於邊上的點，兩個座標為零對應於頂點，具有不同符號的座標對應於三角形外部。

IncircleCircumcircle

三角形的直尺和圓規作圖可以按如下方式完成。在上圖中，取 OP_0 作為半徑，並畫出 OB_|_OP_0。然後平分 OB，並構造 P_2P_1∥OP_0。延長 BO 到 P_3，得到等邊三角形 DeltaP_1P_2P_3。另一種作圖方法是畫一個以點 O 為中心，半徑為 r 的圓。在圓的圓周上選擇一個點 B，並畫另一個以 B 為中心，半徑為 r 的圓。這兩個圓在兩個點 P_1 和 P_2 相交，P_3 是直線 B_O 與第一個圓相交的第二個點。

在《幾何原本》的命題 IV.4 中，歐幾里得展示瞭如何透過找到角平分線的交點，即內心 I，在給定三角形中內接一個圓（內切圓）。在命題 IV.5 中，他展示瞭如何透過找到垂直平分線的交點，即外心 O，在給定三角形上外切一個圓（外接圓）。與具有 n>=4 條邊的普通多邊形不同，三角形總是同時具有外接圓和內切圓。這樣的多邊形稱為雙心多邊形。

x^2+y^2=b^2
(21)
(x-c)^2+y^2=a^2
(22)

可以透過選擇頂點 (0, 0)、(c,0) 和 (x,y)，然後求解以下方程組，構造一個邊長為 a、b 和 c 的三角形：

x=(-a^2+b^2+c^2)/(2c)
(23)
=bcosA
(24)
y=+/-(sqrt((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)))/(2c)
(25)
=+/-(2Delta)/c.
(26)

同時得到

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),
(27)

三角形的角滿足餘弦定理

cotA=(b^2+c^2-a^2)/(4Delta)
(28)

以及

cotA+cotB+cotC=(a^2+b^2+c^2)/(4Delta).
(29)

其中 Delta 是面積（Johnson 1929, p. 11，添加了缺失的平方符號）。後者給出了漂亮的恆等式

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(30)

此外，

cotBcotC+cotCcotA+cotAcotB=1
(31)
tanAcotBcotC+tanBcotCcotA+tanCcotAcotB =tanA+tanB+tanC+2(cotA+cotB+cotC)
(32)

（F.J. n.d., p. 206; Borchardt and Perrott 1930）並且

cot(1/2A)+cot(1/2B)+cot(1/2C) =cot(1/2A)cot(1/2B)cot(1/2C).
(33)

（Siddons and Hughes 1929），並且

cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1,
(34)

其他公式包括

cos(nA)=cos[n(B+C)]
(35)
cos(nB)=cos[n(A+C)]
(36)
cos(nC)=cos[n(A+B)]
(37)

並且

對於偶數 n（Weisstein, 2003 年 1 月 31 日和 2004 年 3 月 3 日）。

cos(1/2A)=sqrt((s(s-a))/(bc))
(38)
sin(1/2A)=sqrt(((s-b)(s-c))/(bc))
(39)
tan(1/2A)=sqrt(((s-b)(s-c))/(s(s-a))),
(40)

三角形中半形的三角函式可以用三角形的邊來表示為

其中 s 是半周長。

SideParallels

以恆定比例分割三角形的邊r<1/2，然後繪製平行於相鄰邊並穿過這些點的直線，會得到線段，這些線段會相交並且與其中一條中線相交於三個點。如果r>1/2，則邊平行線的延伸線會與中線的延伸線相交。

中線平分三角形的面積，邊平行線在比例為1+sqrt(2)時也會平分三角形面積。平分三角形面積的直線的包絡線形成三個雙曲線弧。然而，對於將三角形面積劃分為恆定但不相等比例的直線，包絡線會更加複雜（Dunn and Petty 1972，Ball 1980，Wells 1991）。

有四個圓與三角形的邊相切，一個內切（內切圓），其餘為外切（外切圓）。它們的中心是三角形角平分線的交點。

任何三角形都可以定位成使得它在正交投影下的陰影是等邊三角形。

另請參閱

銳角三角形, 等邊三角形, 等腰三角形, 鈍角三角形, 五邊形, 多邊形, 直角三角形, 不等邊三角形, 正方形, 正方形中選三角形, 三角形面積, 三角形幾何, 三角形中選三角形, 三線座標 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Baker, M. "平面三角形面積公式集。" Ann. Math. 1, 134-138, 1884.Ball, D. "平分包絡線。" Math. Gaz. 64, 166-172, 1980.Berkhan, G. 和 Meyer, W. F. "現代三角形幾何。" 在 數學百科全書，第 3AB 卷 10 (Ed. F. Klein). Leipzig: Teubner, pp. 1173-1276, 1914.Beyer, W. H. (Ed.). CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 123-124, 1987.Borchardt, W. G. 和 Perrott, A. D. §133 在 學校用新三角學。 London: G. Bell, 1930.Casey, J. 歐幾里得幾何原本前六卷的續篇，包含現代幾何的簡單介紹和大量示例，第 5 版，修訂增補版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888.Coxeter, H. S. M. 幾何學導論，第 2 版。 New York: Wiley, 1969.Davis, P. "三角形幾何的興衰及其可能的轉變：一段簡史。" Amer. Math. Monthly 102, 204-214, 1995.Dunn, J. A. 和 Petty, J. E. "平分一個三角形。" Math. Gaz. 56, 105-108, 1972.Durell, C. V. "三角形的性質。" 第 3 章，在 現代幾何：直線和圓。 London: Macmillan, pp. 19-31, 1928.Eppstein, D. "三角形和單形。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/triangulation.html.Feuerbach, K. W. 直線三角形的幾個奇異點和一些由確定的直線和圖形組成的性質。 Nürnberg, Germany: Riegel und Wiesner, 1822.F. J. 直線三角元素。 Paris: J. de Gigord, n.d.Fukagawa, H. 和 Pedoe, D. "一個或兩個圓和三角形"，"三個圓和三角形"，"四個圓和三角形"，"五個圓和三角形"，"許多圓和三角形"，"三角形。" §2.2-2.6 和 4.1 在 日本寺廟幾何問題。 Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 26-37, 46-47, 102-116, 129-130, 1989.Honsberger, R. "論三角形。" 第 3 章，在 十九世紀和二十世紀歐幾里得幾何的插曲。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 27-33, 1995.Johnson, R. A. 現代幾何：三角形和圓的幾何的初等論著。 Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.Jurgensen, R. C.; Donnelly, A. J.; 和 Dolciani, M. P. Th. 42 在 現代幾何：結構和方法。 Boston, MA: Houghton-Mifflin, 1963.Kimberling, C. "三角形平面中的中心點和中心線。" Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "三角形中心和中心三角形。" Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Lachlan, R. "三角形的性質。" 第 6 章，在 現代純幾何初等論著。 London: Macmillian, pp. 51-81, 1893.Le Lionnais, F. 著名數字。 Paris: Hermann, p. 28, 1983.Schröder, R. 三角形及其切圓：計算幾何練習領域，第一部分。 Gross-Lichterfelde, Germany: Oberrealschule Gross-Lichterfelde, 1909.Schröder, R. 三角形及其切圓：計算幾何練習領域，第二部分。 Gross-Lichterfelde, Germany: Oberrealschule Gross-Lichterfelde, 1910.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角學，第一部分。 London: Cambridge University Press, 1929a.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角學，第二部分。 London: Cambridge University Press, 1929b.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角學，第三部分。 London: Cambridge University Press, 1929c.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角學，第四部分。 London: Cambridge University Press, 1929d.Vandeghen, A. "關於等角和塞維變換的一些評論。三角形的顯著點的對齊。" Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.Wells, D. 企鵝好奇有趣的幾何詞典。 London: Penguin, p. 21, 1991.

請引用為

Weisstein, Eric W. "三角形。" 來自 --沃爾夫勒姆網路資源。 https://mathworld.tw/Triangle.html

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