幾何原本

歐幾里得撰寫的經典幾何學論著，在西歐被用作教科書超過 年。阿拉伯語版本的幾何原本 出現在八世紀末，第一個印刷版本於 1482 年出版（Tietze 1965, p. 8）。幾何原本 經歷了超過 個版本，包含 465 個命題，分為 13 “卷”（“章節”的古語）。

《幾何原本》從 23 個定義、五個 公設 和五個“公理”開始，並在其基礎上系統地構建了平面幾何和立體幾何的其餘部分。歐幾里得的五個 公設 是：

1. 從任意 點 到另一點可以畫一條直線 線。

2. 可以將有限直線 線 沿直線 線 連續延伸。

3. 可以以任意 中心 和 半徑 描述一個 圓。

4. 所有直角 直角 都彼此相等。

5. 如果一條直線 線 與兩條直線 線 相交，使同側的內角 角 小於兩個直角 直角，則這兩條直線 線（如果無限延伸）會在內角 角 小於兩個直角 直角 的一側相交。

（Dunham 1990）。歐幾里得的第五公設被稱為 平行公設。經過兩千多年的研究，發現這個 公設 與其他公設無關。事實上，透過改變這個 公設 的假設，發現同樣有效的 非歐幾何 是可能的。不幸的是，歐幾里得的公設並非完全嚴謹，並留下了大量漏洞。希爾伯特總共需要 20 個公設才能構建邏輯上完備的幾何學。