給定任何一條直線和一個不在該直線上的點， “存在一條且僅有一條直線穿過” 該點，並且無論延伸多遠，都永不與第一條直線 相交。 這個陳述等同於 歐幾里得公設 中的第五條公設，歐幾里得本人直到《幾何原本》中的命題 29 才避免使用它。 幾個世紀以來，許多數學家認為這個陳述不是一個真正的公設，而是一個可以從 歐幾里得公設 的前四條推匯出來的定理。 （幾何學中只能使用公設 1-4 推匯出的部分後來被稱為 絕對幾何。）
多年來，許多聲稱證明了平行公設的證明被髮表。 然而，沒有一個是正確的，包括 G. S. Klügel 在他 1763 年的論文中分析的 28 個“證明”（Hofstadter 1989）。 所有這些努力的主要動機是，歐幾里得的平行公設似乎不像其他公理那樣“直觀”，但它對於證明重要的結果是必要的。 John Wallis 提出了一個新的公理，該公理暗示了平行公設，並且也具有直觀吸引力。 他的“公理”指出，任何三角形都可以放大或縮小，而不會扭曲其比例或角度（Greenberg 1994，第 152-153 頁）。 然而，Wallis 的公理從未流行起來。
1823 年，Janos Bolyai 和 Lobachevsky 獨立地意識到，可以建立完全自洽的“非歐幾里得幾何”，其中平行公設不成立。 （高斯也發現了非歐幾里得幾何的存在，但壓制了它。）
如上所述，平行公設描述了現在被稱為 歐幾里得幾何 的幾何型別。 然而，如果將“存在一條且僅有一條直線穿過”這句話替換為“不存在穿過的直線”或“至少存在兩條穿過的直線”，則該公設描述了同樣有效（儘管不太直觀）的幾何型別，分別稱為 橢圓幾何 和 雙曲幾何。
平行公設等同於 等距公設、普萊費爾公理、普羅克洛斯公理、三角形公設 和 勾股定理。 在 希爾伯特公理 中也有一個單一的平行公理，它等同於歐幾里得的平行公設。
S. Brodie 已經證明平行公設等同於 勾股定理。
