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勾股定理

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PythagoreanTheoremFigure

對於一個直角三角形，其直角邊為 a 和 b，斜邊為 斜邊 c,

a^2+b^2=c^2.
(1)

對於這個最基礎的幾何定理，存在許多不同的證明。該定理也可以從平面三角形推廣到三直角四面體，在這種情況下，它被稱為de Gua 定理。勾股定理的各種證明似乎都需要應用某種形式或結果的平行公設：分割證明依賴於直角三角形銳角的互補性，剪下證明依賴於平行四邊形的顯式構造，相似性證明需要存在非全等的相似三角形，等等 (S. Brodie)。 基於這個觀察，S. Brodie 已經證明平行公設等價於勾股定理。

在 1939 年電影綠野仙蹤中，稻草人從巫師那裡獲得大腦後，背誦了以下扭曲（且不正確）形式的勾股定理：“任何等腰三角形任意兩邊平方根的和等於剩餘邊的平方根。” 在電視劇辛普森一家的第五季中，Homer J. Simpson 重複了稻草人的臺詞（Pickover 2002，第 341 頁）。在電視劇數字追兇第二季的 "Obsession" (2006) 這一集中，查理在討論籃球框時使用的方程式包括勾股定理的公式。

PythagThDissec

阿拉伯數學家薩位元·伊本·庫拉 (Thabit ibn Kurrah) (Ogilvy 1994, Frederickson 1997) 給出了一個巧妙的分割證明，它將兩個小正方形重新組合成一個大正方形。

PythagoreanThPerigal
PythagoreanTheoremTri

另一個分割證明歸功於佩里加爾（左圖；Pergial 1873；Dudeney 1958；Madachy 1979；Steinhaus 1999，第 4-5 頁；Ball 和 Coxeter 1987）。 使用右側上圖可以完成一個相關的證明，其中大正方形的面積是一個三角形的面積的四倍加上內部正方形的面積。 從圖中，d=b-a，因此

A=4(1/2ab)+d^2
(2)
=2ab+(b-a)^2
(3)
=2ab+b^2-2ab+a^2
(4)
=a^2+b^2
(5)
=c^2.
(6)
PythagThBhaskra

印度數學家婆什迦羅使用上圖構建了一個證明，另一個漂亮的分割證明如下所示（Gardner 1984，第 154 頁）。

PythagThTriBox
c^2+4(1/2ab)=(a+b)^2
(7)
c^2+2ab=a^2+2ab+b^2
(8)
c^2=a^2+b^2.
(9)
PythagoreanTheoremShear

存在幾種優美且直觀的剪下證明（Gardner 1984，第 155-156 頁；Project Mathematics!）。

也許最著名的證明是歐幾里得的幾何證明（Tropfke 1921ab；Tietze 1965，第 19 頁），儘管它既不是最簡單的也不是最明顯的。 歐幾里得的證明使用了下圖，該圖有時被稱為新娘椅、孔雀尾或風車。 哲學家叔本華將這個證明描述為“巧妙的悖論”（Schopenhauer 1977；Gardner 1984，第 153 頁）。

PythagoreanTheorem

設 DeltaABC 為一個直角三角形， square CAFG， square CBKH 和 square ABED 為正方形，且 CL∥BE。 三角形 DeltaFAB 和 DeltaCAD 除了旋轉外是等價的，因此

2DeltaFAB=2DeltaCAD.
(10)

剪下這些三角形會得到另外兩個等價的三角形

2DeltaCAD=ADLM.
(11)

因此，

square ACGF=ADLM.
(12)

同樣地，

square BC=2DeltaABK=2DeltaBCE=BL
(13)

所以

a^2+b^2=cx+c(c-x)=c^2.
(14)

希羅證明了 AK、CL 和 BF 交於一點（Dunham 1990，第 48-53 頁）。

三角形面積的希羅公式隱含了勾股定理。 使用以下形式

K=1/4sqrt(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4))
(15)

並等同於面積

K=1/2ab
(16)

得到

1/4a^2b^2=1/(16)[2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4)].
(17)

重新排列和簡化得到

a^2+b^2=c^2,
(18)

勾股定理，其中 K 是邊長為 a、b 和 c 的三角形的面積（Dunham 1990，第 128-129 頁）。

PythagoreanTheoremTrap

美國後來的總統詹姆斯·加菲爾德 (James Garfield)（1876 年）在眾議院任職期間發現了一種使用梯形的新穎證明（Gardner 1984，第 155 頁和 161 頁；Pappas 1989，第 200-201 頁；Bogomolny）。

A_(trapezoid)=1/2sum[bases] ·[altitude]
(19)
=1/2(a+b)(a+b)
(20)
=1/2ab+1/2ab+1/2c^2.
(21)

重新排列，

1/2(a^2+2ab+b^2)=ab+1/2c^2
(22)
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2
(23)
a^2+b^2=c^2.
(24)

一個代數證明（不會被希臘人接受）使用了尤拉公式。 設三角形的邊長為 a、b 和 c，直角三角形的垂直邊沿實軸和虛軸對齊。 那麼

a+bi=ce^(itheta).
(25)

取複共軛得到

a-bi=ce^(-itheta).
(26)

將 (25) 乘以 (26) 得到

a^2+b^2=c^2
(27)

(Machover 1996)。

PythagoreanTheoremSim

另一個代數證明透過相似性進行。 具有邊長 x、a 和 d 的直角三角形（左圖中的小三角形；在右圖中重現）與具有邊長 d、b 和 y 的直角三角形（左圖中的大三角形；在中間圖中重現）相似。 在上左圖中設 c=x+y，則得到

x/a=a/c
(28)
y/b=b/c
(29)

所以

a^2=cx
(30)
b^2=cy
(31)

和

a^2+b^2=c(x+y)=c^2
(32)

（Gardner 1984，第 155 頁和 157 頁）。 由於這個證明依賴於潛在的無理數的比例，並且不能直接轉化為幾何構造，因此它不被歐幾里得認為是有效的。

另請參閱

新娘椅, de Gua 定理, 餘弦定理, 孔雀尾, 畢達哥拉斯定理, 勾股數, 直角三角形, 風車 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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請引用本文為

韋斯stein, Eric W. "勾股定理。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/PythagoreanTheorem.html

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