無理數

無理數是不能表示為 分數 的數，其中 和 為 整數。無理數具有既不終止也不迴圈的小數展開。每個超越數都是無理數。

無理數集合沒有標準符號，但符號 , , 或 都可以使用，其中橫線、減號或反斜槓表示 有理數 在實數 上的集合補集。

最著名的無理數是 ，有時稱為畢達哥拉斯常數。傳說畢達哥拉斯哲學家希帕索斯在海上用幾何方法證明了 的無理性，並在通知了他的同志他的偉大發現後，立即被狂熱的畢達哥拉斯學派成員扔下船。其他例子包括 , , 等。Erdős-Borwein 常數

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(OEIS A065442; Erdős 1948, Guy 1994), 其中 是 的除數個數，以及一組推廣 (Borwein 1992) 也已知是無理數 (Bailey and Crandall 2002)。

形式為 的數是無理數，除非 是 次冪的整數。形式為 的數，其中 是對數，如果 和 是整數，其中一個整數有一個質因數，而另一個整數沒有該質因數，則為無理數。 對於有理數 是無理數。 對於每個有理數 都是無理數 (Niven 1956, Stevens 1999)，並且 (對於以度為單位測量的 ) 對於每個有理數 都是無理數，除了 (Niven 1956)。 對於每個有理數 都是無理數 (Stevens 1999)。

e 的無理性由尤拉在 1737 年證明；對於一般情況，參見 Hardy 和 Wright (1979, p. 46)。 對於正整數 是無理數。pi 本身的無理性由 Lambert 在 1760 年證明；對於一般情況，參見 Hardy 和 Wright (1979, p. 47)。Apéry 常數 (其中 是黎曼 zeta 函式) 由 Apéry (1979; van der Poorten 1979) 證明是無理數。此外，T. Rivoal (2000) 最近證明，有無限多個整數 使得 是無理數。隨後，他還表明，, , ..., 中至少有一個是無理數 (Rivoal 2001)。

根據格爾豐德定理，形式為 的數是超越數（因此也是無理數），如果 是代數數 , 1 並且 是無理數和代數數。這確立了格爾豐德常數 的無理性（因為 ），以及 。Nesterenko (1996) 證明了 是無理數。事實上，他證明了 , 和 是代數獨立的，但此前尚不清楚 是否為無理數。

給定一個多項式方程

(4)

其中 是整數，根 要麼是整數，要麼是無理數。如果 是無理數，那麼 , , 和 也是無理數。

尚未確定 , , , 或 (其中 是尤拉-馬歇羅尼常數) 的無理性。

二次不盡根是具有周期性連分數的無理數。

胡爾維茨無理數定理給出了形式為

(5)

對於任意無理數 的最佳有理逼近可能性的界限，其中 稱為拉格朗日數，並且對於每個被排除的“壞”無理數集合，拉格朗日數穩步增大。

級數

(6)

其中 是除數函式，對於 和 2 是無理數。