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幾乎是整數

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幾乎是整數是指非常接近整數的數字。

費馬大定理的近似解提供了一些著名的幾乎是整數的例子。在動畫電視節目《辛普森一家》第 7 季第 6 集（“恐怖樹屋 VI”）題為 Homer^3 的片段中，方程 1782^(12)+1841^(12)=1922^(12) 在背景中出現。展開後發現只有前 9 位十進位制數字匹配 (Rogers 2005)。《辛普森一家》第 10 季第 2 集（“常青臺巫師”）提到了 3987^(12)+4365^(12)=4472^(12)，它不僅在前 10 位十進位制數字上匹配，而且在易於檢查的最後一位也匹配 (Greenwald)。相應的幾乎是整數為

(1782^(12)+1841^(12))/(1922^(12))=0.99999999972...
(1)
(3987^(12)+4365^(12))/(4472^(12))=1.0000000000189....
(2)

一些令人驚訝的幾乎是整數由下式給出

sin(11)=-0.999990206...,
(3)

它在 5 位數字內等於 -1，並且

sin(2017RadicalBox[2, 5])=-0.9999999999999999785...,
(4)

它在 16 位數字內等於 -1（M. Trott，私人通訊，2004 年 12 月 7 日）。其中第一個來自半形公式恆等式

sin^211=1/2(1-cos22),
(5)

其中 22 是 π 的收斂項 22/7 的分子，因此 pi，所以 cos22 approx cos(7pi)=cospi= approx -1。因此，任何 π 近似值 x 都會給出 cosx approx -1 形式的近似恆等式。

另一個涉及 e 和 π 的令人驚訝的例子是

e^pi-pi=19.999099979...
(6)

（參見 Maze 和 Minder 2005），也可以寫成

(pi+20)^i=-0.9999999992-0.0000388927i
(7)
cos(ln(pi+20)) approx -0.9999999992.
(8)

這裡，e^pi 是 蓋爾豐德常數。這個近似恆等式顯然在 1988 年左右幾乎同時被 N. J. A. Sloane、J. H. Conway 和 S. Plouffe 注意到。它的起源可以追溯到與雅可比 θ 函式相關的和

sum_(k=1)^infty(8pik^2-2)e^(-pik^2)=1.
(9)

第一項占主導地位，因為其他項僅貢獻

sum_(k=2)^infty(8pik^2-2)e^(-pik^2) approx 0.0003436,
(10)

給出

e^(-pi)(8pi-2)=0.999656... approx 1.
(11)

改寫為

e^pi approx 8pi-2=pi+7pi-2
(12)

並使用近似值 pi approx 22/7，則得到

e^pi approx pi+22-2=pi+20
(13)

（A. Doman，2023 年 9 月 18 日；由 D. Bamberger，2023 年 11 月 26 日傳達）。有趣的是，最後一步中選擇 pi approx 22/7（與其他選擇相比，這在數學上並不重要，除了它使最終形式非常簡單）使得公式比其他情況精確一個數量級。

透過多次應用餘弦，可以使近似恆等式更接近，例如，

cos(picos(picos(ln(pi+20)))) approx -1+3.9321609261×10^(-35).
(14)

另一個巢狀餘弦幾乎是整數由下式給出

2cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos5))))))^2 =0.999995254797000...
(15)

（P. Rolli，私人通訊，2004 年 2 月 19 日）。

一個歸因於拉馬努金的例子是

22pi^4=2143+2.748...×10^(-6).
(16)

一些涉及整數和對數的近似恆等式為

510log_(10)7=431.00000040...
(17)
88ln89=395.00000053...
(18)
272log_pi97=1087.000000204...,
(19)

它們分別精確到 6、6 和 6 位小數（K. Hammond，私人通訊，2006 年 1 月 4 日和 3 月 23-24 日）。

一個有趣的近似恆等式由下式給出

1/4[cos(1/(10))+cosh(1/(10))+2cos(1/(20)sqrt(2))cosh(1/(20)sqrt(2))]=1+2.480...×10^(-13)
(20)

（W. Dubuque，私人通訊）。

涉及 e 和 pi 的近似恆等式由下式給出

e^6-pi^4-pi^5=0.000017673...
(21)

（D. Wilson，私人通訊），

(pi^9)/(e^8)=9.9998387...
(22)

（D. Ehlke，私人通訊，2005 年 4 月 7 日），

10tanh((28)/(15)pi)-(pi^9)/(e^8) approx 6.005×10^(-9)
(23)

（Povolotsky，私人通訊，2008 年 5 月 11 日），和

(e^pi-ln3)/(ln2)-4/5=31.0000000033...
(24)

（精確到 8 位數字；M. Stay，私人通訊，2009 年 3 月 17 日），或等效地

(10(e^pi-ln3))/(ln2)=318.000000033...,
(25)

其他顯著的近似恆等式由下式給出

(5(1+sqrt(5))[Gamma(3/4)]^2)/(e^(5pi/6)sqrt(pi))=1+4.5422...×10^(-14),
(26)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式 (S. Plouffe，私人通訊)，

ln2+log_(10)2=0.994177...
(27)

（D. Davis，私人通訊），

(163)/(ln163)=31.9999987384...
(28)

（釋出到sci.math；來源未知），

eC^(5/7-gamma)pi^(-(2/7+gamma)) approx 1.00014678
(29)
(C^(gamma-19/7)pi^(2/7+gamma))/(2phi) approx 1.00105
(30)
egammaphi(Cpi)^(-(2/7+gamma)) approx 1.01979,
(31)

其中 C 是 卡塔蘭常數，gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，φ 是 黃金比例（D. Barron，私人通訊），以及

163(pi-e)=68.999664...
(32)
(53453)/(ln53453)=4910.00000122...
(33)
[(2-1)^2+((5^2-1)^2)/(6^2+1)]e-[(2+1)^2+((5^2+1)^2)/(6^2-1)]^(-1)=(613)/(37)e-(35)/(991)
(34)
=44.99999999993962...
(35)

（E. Stoschek，私人通訊）。Stoschek 還給出了一個有趣的近似恆等式，涉及精細結構常數 alpha 和 費根鮑姆常數 delta,

(28-delta^(-1))(alpha^(-1)-137) approx 0.999998.
(36)

E. Pegg Jr.（私人通訊，2002 年 3 月 4 日）發現了有趣的近似恆等式

((91)/(10))^(1/4)-(33)/(19)=3.661378...×10^(-8)
(37)

和

((23)/9)^5=(6436343)/(59049) approx 109.00003387.
(38)

近似恆等式

3sqrt(2)(sqrt(5)-2)=1.0015516...
(39)

產生於注意到從正十二面體增廣形成大十二面體的增廣比率 (r+h)/h=3(sqrt(5)-2) 近似等於 1/sqrt(2)。另一個近似恆等式由下式給出

zeta(3) approx gamma^(-1/3)+pi^(-1/4)(1+2gamma-2/(130+pi^2))^(-3),
(40)

其中 zeta(3) 是 阿佩裡常數，gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，它精確到四位數字（P. Galliani，私人通訊，2002 年 4 月 19 日）。

J. DePompeo（私人通訊，2004 年 3 月 29 日）發現

(5phie)/(7pi)=1.0000097...,
(41)

它在五位數字內等於 1。

M. Hudson（私人通訊，2004 年 10 月 18 日）注意到幾乎是整數

lnK-lnlnK=1.0000744...,
(42)

其中 K 是 辛欽常數，以及

(sqrt(45))^gamma=3.000060964...,
(43)

（私人通訊，2005 年 2 月 4 日），其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數。

M. Joseph 發現

erfi(erfi(1/3sqrt(3)))=1.0000208...,
(44)

它在四位數字內等於 1（私人通訊，2006 年 5 月 18 日）。M. Kobayashi（私人通訊，2004 年 9 月 17 日）發現

10(gamma^(-1/2)-1)^2=0.9999980...,
(45)

它在五位數字內等於 1。相關的表示式

(10)/(81)(11-2sqrt(10))-gamma=-2.72×10^(-7),
(46)

它在六位數字內等於 0（E. Pegg Jr.，私人通訊，2004 年 9 月 28 日）。S. M. Edde（私人通訊，2007 年 9 月 7 日）注意到

exp[-psi_0(1/4(2+sqrt(3)))]=1.99999969...,
(47)

其中 psi_0(x) 是雙伽瑪函式。

E. W. Weisstein（2003 年 3 月 17 日）發現了幾乎是整數

2.78768×10^(-6) approx 7/(64)ln2-(131)/(1728)
(48)
2.84186×10^(-6) approx (80497)/(40320)-(43)/(144)pi^2+(3293)/(1260)ln2-(43)/(24)(ln2)^2
(49)
9.80710×10^(-6) approx (2411287)/(30240)-(100)/9pi^2+(1877)/(21)ln2-(200)/3(ln2)^2
(50)

作為積分割槽域分解中的單獨積分，用於計算三角形三角形拾取中三角形的平均面積。

ln2 和 3^(1/3) 給出幾乎是整數

1/(3^(1/3)ln2)=1.00030887...
(51)

（E. W. Weisstein，2005 年 2 月 5 日）。

Prudnikov 等人（1986 年，第 757 頁）無意中給出了一個幾乎是整數的結果，因為他們錯誤地將無窮乘積識別為

product_(k=1)^infty(1-e^(-2pik/sqrt(3)))=(e^(-2pi/sqrt(3)))_infty,
(52)

其中 (q)_infty 是 q-Pochhammer 符號，被認為等於 3^(1/4)e^(-pi/(6sqrt(3)))，這與正確結果相差

3^(1/4)e^(-pi/(6sqrt(3)))-(e^(-2pi/sqrt(3)))_infty approx 1.82668×10^(-5).
(53)

一個與八字曲線相關的更晦澀的近似恆等式是跳躍的位置在

Pi(1/2i(i+sqrt(7));isinh^(-1)(sqrt(-(2i)/(i+sqrt(7)))tant),k),
(54)

其中

k=sqrt((i+sqrt(7))/(i-sqrt(7)))
(55)

並且 Pi(n;phi,k) 是第三類橢圓積分，其值為 1.3333292798...，或在 4/3 的 4.1×10^(-6) 範圍內 (E. W. Weisstein，2006 年 4 月)。另一個稍微晦澀的是給出學生 t 分佈在樣本量為 30 時 99.5% 置信區間所需的 x 值，其值為 2.7499956...，或在 11/4 的 4.4×10^(-6) 範圍內 (E. W. Weisstein，2006 年 5 月 2 日)。

設 l^_ 是等腰直角三角形中三角形線拾取的線段的平均長度，則

l^_=1/(30)[2+4sqrt(2)+(4+sqrt(2))sinh^(-1)1] approx 0.4142933026,
(56)

它在 8×10^(-5) 的 sqrt(2)-1=0.4142135624... 範圍內。

D. Terr（私人通訊，2004 年 7 月 29 日）發現了幾乎是整數

phi/(2^(ln2))=1.0007590...,
(57)

其中 phi 是黃金比例，ln2 是 2 的自然對數。

D. Hickerson 提出的一組幾乎是整數的形式為形式為

h_n=(n!)/(2(ln2)^(n+1))
(58)

對於 1<=n<=17，如下表所示。

nh_n
00.72135
11.04068
23.00278
312.99629
474.99874
5541.00152
64683.00125
747292.99873
8545834.99791
97087261.00162
10102247563.00527
111622632572.99755
1228091567594.98157
13526858348381.00125
1410641342970443.08453
15230283190977853.03744
165315654681981354.51308
17130370767029135900.45799

這些數字接近整數，因為該商是 n 個人（允許平局）之間比賽可能結果數量的無窮級數中的主導項。將此數字稱為 f(n)，則得出

f(n)=sum_(k=1)^n(n; k)f(n-k)
(59)

其中 f(0)=1，其中 (n; k) 是二項式係數。由此，我們得到 f 的指數生成函式

sum_(n=0)^infty(f(n))/(n!)z^n=1/(2-e^z),
(60)

然後透過圍道積分可以證明

f(n)=1/2(-1)^(n+1)n!sum_(k=-infty)^infty1/((ln2+2piik)^(n+1))
(61)

對於 n>=1，其中 i 是 -1 的平方根，並且總和是對所有整數 k 求和（這裡，k 和 -k 項的虛部相互抵消，因此此總和是實數）。k=0 項占主導地位，因此 f(n) 漸近於 n!/(2(ln2)^(n+1))。總和可以顯式地完成為

f(n)=((-1)^(n+1)in!)/(pi^(n+1)2^(n+2))[i^nzeta(n+1,1+(iln2)/(2pi))-(-i)^nzeta(n+1,-(iln2)/(2pi))],
(62)

其中 zeta(s,a) 是赫爾維茨 zeta 函式。實際上，對於 n 從 1 到 15，其他項非常小，因此對於這些值，f(n) 是 n!/(2(ln2)^(n+1)) 最接近的整數，由序列 1, 3, 13 75, 541, 4683, ... (OEIS A034172) 給出。

可以使用模函式理論找到一大類無理數幾乎是整數，拉馬努金（1913-14）給出了一些相當引人注目的例子。Hermite（1859）、Kronecker（1863）和 Smith（1965）也研究了這種近似。它們可以使用 j 函式的一些驚人（且非常深刻）的屬性生成。一些最接近整數的近似值是 e^(pisqrt(163))（有時稱為拉馬努金常數，它對應於類數為 1 且是最大判別式的虛二次域的域 Q(sqrt(-163))），e^(pisqrt(22))，e^(pisqrt(37)) 和 e^(pisqrt(58))，其中最後三個的類數為 2，歸功於拉馬努金（Berndt 1994，Waldschmidt 1988ab）。

j 函式的屬性也產生了驚人的恆等式

[(ln(640320^3+744))/pi]^2=163+2.32167...×10^(-29)
(63)

（Le Lionnais 1983, p. 152; Trott 2004, p. 8）。

下面的列表給出了形式為 x=e^(pisqrt(n))，對於 n<=1000，滿足 |nint(x)-x|<=10^(-3) 的數字。

n|nint(x)-x|
25-0.00066
37-0.000022
43-0.00022
58-1.8×10^(-7)
67-1.3×10^(-6)
74-0.00083
1480.00097
163-7.5×10^(-13)
232-7.8×10^(-6)
2680.00029
522-0.00015
6521.6×10^(-10)
719-0.000013

Gosper（私人通訊）指出表示式

1-262537412640768744e^(-pisqrt(163))-196884e^(-2pisqrt(163))+103378831900730205293632e^(-3pisqrt(163)).
(64)

與整數僅相差 1.6×10^(-59)。

AlmostIntegerTriangleDissection

E. Pegg Jr. 指出，上面圖示的三角形解剖長度為

d=1/2sqrt(1/(30)(61421-23sqrt(5831385)))
(65)
=7+8.574×10^(-8),
(66)

這幾乎是一個整數。

Borwein 和 Borwein (1992) 以及 Borwein 等人 (2004, pp. 11-15) 給出了幾乎為真的級數恆等式的例子。例如，

sum_(n=1)^infty(|_ntanhpi_|)/(10^n)=1/(81)-1.11...×10^(-269)
(67)

這是正確的，因為 tanhpi=0.9962... 並且對於正整數 n<268，|_ntanhpi_|=n-1。實際上，前幾個使 |_ntanhpi_|=|_(n+1)tanhpi_| 的 n 的加倍值是 268、536、804、1072、1341、1609、...(OEIS A096613)。

一個（非常）接近整數的例子是

sum_(k=-infty)^(infty)1/(10^((k/100)^2))=theta_3(0,10^(-1/10000))
(68)
approx 100sqrt(pi/(ln10))+1.3809×10^(-18613)
(69)

（Borwein 和 Borwein 1992；Maze 和 Minder 2005）。

Maze 和 Minder (2005) 發現了從以下公式獲得的一類近似恆等式

u_k=ln2sum_(n=-infty)^infty1/((2^(k/2)+2^(-k/2))^n)
(70)

為

u_1=3.14159265359518238328842...
(71)
=pi+5.3...×10^(-12)
(72)
u_2=1.00000000004885109041382...
(73)
=1+4.8...×10^(-11)
(74)
u_3=pi/(2^3)+2.2...×10^(-10)
(75)
u_4=1/6+6.7...×10^(-10)
(76)
u_5=(3pi)/(2^7)+1.5...×10^(-9)
(77)
u_6=1/(30)+2.9...×10^(-9)
(78)

（OEIS A114609 和 A114610）。這裡，超額部分可以計算為由遞迴關係連線的精確和，其中前幾個是

r_1=2pisum_(k=1)^(infty)sech((2kpi^2)/(ln2))
(79)
r_2=(2pi)/(ln2)sum_(k=1)^(infty)2kpicsch((2kpi^2)/(ln2))
(80)

（Maze 和 Minder 2005）。這些總和也可以使用 q-polygamma 函式 psi_q^((k))(z) 以閉合形式完成，例如給出

r_1=-2ipsi_(sqrt(2))(-ipil_2)-2ipsi_(sqrt(2))(ipil_2)-1/2l_2^(-1)-3pi
(81)
r_2=-2l_2psi_(sqrt(2))^((1))(-ipil_2)-2l_2psi_(sqrt(2))^((1))(ipil_2)-1/4l_2^(-1)+1,
(82)

其中 l_2=ln2。

一個有趣的涉及長度單位的幾乎是整數由下式給出

(inches/mile)/(astronomical units/light year)=0.99812...,
(83)

一個涉及長度、時間和速度的由下式給出

((astronomical units/day)^2)/((speed of light)(meters/second))=10000.06...
(84)

（J. Martin-Garcia，私人通訊，2022 年 6 月 25 日）。

如果允許物理和數學常數的組合並以 SI 單位表示，則以下量具有接近整數的數值前因子

(cek)/h=1.0008m A/(s K)
(85)
(P_b+7/9)(epsilon_0R_infty^2)=1000.0F/m^3
(86)

（M. Trott，私人通訊，2011 年 4 月 28 日），其中第一個顯然被 Weisskopf 注意到。這裡，c 是光速，e 是基本電荷，k 是玻爾茲曼常數，h 是普朗克常數，P_b 是 4 維超立方體晶格的鍵滲流閾值，epsilon_0 是真空介電常數，R_infty 是裡德伯常數。另一個著名的例子是 Wyler 常數，它根據基本數學常數近似（無量綱）精細結構常數。

另請參見

幾乎是素數, 幾乎為零, 阿佩裡常數近似值, 卡塔蘭常數近似值, 類數, e 近似值, 愛丁頓數, 尤拉-馬歇羅尼常數近似值, 費根鮑姆常數近似值, 向下取整函式, 黃金比例近似值, j-函式, 辛欽常數近似值, Pi 近似值, 皮索數, 三角形解剖, 一致性猜想, Wyler 常數

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參考文獻

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 90-91, 1994.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. "High Precision Fraud." §1.4 in Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 11-15, 2004.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "Strange Series and High Precision Fraud." Amer. Math. Monthly 99, 622-640, 1992.Cohen, H. "Elliptic Curves." In From Number Theory to Physics (Ed. M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, and C. Itzykson). New York: Springer-Verlag, pp. 212-237, 1992.Greenwald, S. "Dr. Sarah's Futurama pik--Mathematics in the Year 3000." http://www.mathsci.appstate.edu/~sjg/futurama/.Hermite, C. "Sur la théorie des équations modulaires." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 48, 1079-1084 and 1095-1102, 1859.Hermite, C. "Sur la théorie des équations modulaires." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 49, 16-24, 110-118, and 141-144, 1859.Kronecker, L. "Über die Klassenzahl der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen." Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 340-345. 1863.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983.Maze, G. and Minder, L. "A New Family of Almost Identities." 28 Jun 2005. http://www.arxiv.org/abs/math.GM/0409014/.Pegg, E. Jr. http://www.mathpuzzle.com/WIWWTP.gif.Pegg, E. Jr. "Math Games: Keen Approximations." Feb. 14, 2005. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_02_14_05.html.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions. New York: Gordon & Breach, 1986.Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure Appl. Math. 45, 350-372, 1913-14.Roberts, J. The Lure of the Integers. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1992.Rogers, D. "Homer Math Catches Up with the News." San Francisco Chronicle, p. B-7. Dec. 16, 2005. http://www.sfgate.com/cgi-bin/article.cgi?file=/chronicle/archive/2005/12/16/EDG7RG8FGG1.DTL.Sloane, N. J. A. Sequences A034172, A096613, A114609, and A114610 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, H. J. S. Report on the Theory of Numbers. New York: Chelsea, 1965.Stillwell, J. "Modular Miracles." Amer. Math. Monthly 108, 70-76, 2001.Stoschek, E. "Modul 33: Algames with Numbers." http://marvin.sn.schule.de/~inftreff/modul33/task33.htm.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Waldschmidt, M. "Some Transcendental Aspects of Ramanujan's Work." In Ramanujan Revisited: Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987 (Ed. G. E. Andrews, B. C. Berndt, and R. A. Rankin). New York: Academic Press, pp. 57-76, 1988a.Waldschmidt, M. In Ramanujan Centennial International Conference (Ed. R. Balakrishnan, K. S. Padmanabhan, and V. Thangaraj). Ramanujan Math. Soc., 1988b.

在 中被引用

幾乎是整數

請引用為

Weisstein, Eric W. “幾乎是整數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AlmostInteger.html

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