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Pi 近似值

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收斂項 pi 連分數 是 pi 最簡單的近似值。前幾個由 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, ... (OEIS A002485 和 A002486) 給出，它們的精度分別為 0, 2, 4, 6, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, ... (OEIS A114526) 位十進位制數字。

以下兩個近似值來自近-恆等函式 3sinx/(2+cosx) 在 x=pi/4 和 pi/8 處求值，得到

pi approx (12)/7(2sqrt(2)-1)
(1)
approx (24sqrt(2-sqrt(2)))/(4+sqrt(2+sqrt(2))),
(2)

它們的精度分別為 2 位和 3 位數字。科欽斯基近似 是以下方程的 根：

9x^4-240x^2+1492
(3)

由下式給出

pi approx sqrt((40)/3-sqrt(12)) approx 3.141533,
(4)

精度為 4 位數字。

另一個有趣的現象是 幾乎是整數

e^pi-pi=19.999099979...,
(5)

也可以寫成

(pi+20)^i=-0.9999999992-0.0000388927i approx -1
(6)
cos(ln(pi+20)) approx -0.9999999992.
(7)

這裡，e^pi 是 格爾豐德常數。再應用幾次 餘弦 函式得到

cos(picos(picos(ln(pi+20)))) approx -1+3.9321609261×10^(-35).
(8)

另一個涉及 e 的近似值由下式給出

pi approx sqrt(4e-1),
(9)

精度為 2 位十進位制數字 (A. Povolotsky, 私人通訊, 3月 6, 2008)。

一個顯然有趣的近恆等式由下式給出

sin(1/(555555) degrees) approx pi×10^(-8),
(10)

當注意到 555555 是一個 重覆數字 時，這就不那麼令人驚訝了，因此上面只是近恆等式的一個特例

sin((pi/(180))/(d(10^n-1)/9)) approx sin((pi/(180))/(d(10^n)/9))
(11)
approx pi/(2d)10^(-(n+1))
(12)

其中 d=5 和 n=6。

一個涉及 黃金比例 phi 的近似值來自具有單位 中間半徑 的 正則 四方偏方面體 的 體積，即

pi approx 8/3phi(2-sqrt(phi))
(13)
=8/3(1+sqrt(5)-sqrt(2+sqrt(5)))
(14)
=3.14105...
(15)

(參見 Pegg 2018)，精度為 3 位數字。另一個涉及 phi 的近似值為

pi approx 6/5phi^2
(16)
=6/5((sqrt(5)+1)/2)^2
(17)
=3/5(3+sqrt(5))
(18)
=3.14164...,
(19)

精度為 4 位數字。S. Mircea-Mugurel (私人通訊, 10月 30, 2002) 給出了一個類似的近似值

pi approx 4phi^(-1/2)=3.1446...,
(20)

然而，精度僅為兩位小數。另一個涉及 黃金比例 phi 的近似值由下式給出

pi approx ((802phi-801)/(602phi-601))^4,
(21)

精度為 7 位數字 (K. Rashid, 私人通訊)。

拉馬努金給出的一些近似值包括

pi approx (19sqrt(7))/(16)
(22)
approx 7/3(1+1/5sqrt(3))
(23)
approx 9/5+sqrt(9/5)
(24)
approx ((2143)/(22))^(1/4)=(9^2+(19^2)/(22))^(1/4)=(102-(2222)/(22^2))^(1/4)=(97+1/2-1/(11))^(1/4)=(97+9/(22))^(1/4)
(25)
approx (63)/(25)((17+15sqrt(5))/(7+15sqrt(5)))
(26)
approx (355)/(113)(1-(0.0003)/(3533))
(27)
approx (12)/(sqrt(130))ln[((3+sqrt(13))(sqrt(8)+sqrt(10)))/2]
(28)
approx (24)/(sqrt(142))ln[(sqrt(10+11sqrt(2))+sqrt(10+7sqrt(2)))/2]
(29)
approx (12)/(sqrt(190))ln[(3+sqrt(10))(sqrt(8)+sqrt(10))]
(30)
approx (12)/(sqrt(310))ln[1/4(3+sqrt(5))(2+sqrt(2))(5+2sqrt(10)+sqrt(61+20sqrt(10)))]
(31)
approx 4/(sqrt(522))ln[((5+sqrt(29))/(sqrt(2)))^3(5sqrt(29)+11sqrt(6))(sqrt((9+3sqrt(6))/4)+sqrt((5+3sqrt(6))/4))^6],
(32)

它們的精度分別為 3, 4, 4, 8, 8, 9, 14, 15, 15, 18, 23, 31 位數字 (Ramanujan 1913-1914; Hardy 1952, p. 70; Wells 1986, p. 54; Berndt 1994, pp. 48-49 和 88-89)。方程 (◇) 和類似的

pi approx (66sqrt(2))/(33sqrt(29)-148)
(33)

也由 Borwein 和 Bailey (2003, p. 135) 給出。拉馬努金還給出了

pi approx (99^2)/(2206sqrt(2))
(34)

(Wells 1986, p. 54)。

使用兩個 全數字數字 (A. Povolotsky, 私人通訊, 8月 29, 2022) 找到 pi 的有理近似值並不難。最好的這種近似值是

pi approx (8405139762)/(2675439081)=3.141592653591...
(35)

它將 pi 近似到 10 位十進位制數字 (E. Weisstein, 9月 7, 2022)。S. Irvine (私人通訊) 指出 (◇) 給出的 pi 的近似值精度為 8 位數字，可以寫成 全數字 形式

pi approx 0+sqrt(sqrt(3^4+(19^2)/(78-56)))
(36)
=(9^2+(19^2)/(22))^(1/4)
(37)
=((2143)/(22))^(1/4)
(38)

(S. Plouffe, 私人通訊; 參見 Wells 1986, p. 54)。E. Pegg (私人通訊) 發現了 全數字 近似值

0+3+(1-(9-8^(-5))^(-6))/(7+2^(-4))=(233546921420225777694970883318153571)/(74340293968115785654927455866388593)
(39)

它將 pi 近似到 9 位數字。另一個 全數字 公式由下式給出

pi approx 3+4/(28)-1/(790+5/6)=3.14159265392...
(40)

(B. Astle, 私人通訊, 1月 9, 2004)，它將 pi 近似到 9 位數字。超越這兩者的是 全數字 近似值

2^(5^(.4))-.6-((.3^9)/7)^(.8^(.1)).
(41)

它給出 10 位正確數字 (B. Ziv, 私人通訊, 7月 7, 2004)。另一個全數字近似值由下式給出

(ln{[2×5!+(8-1)!]^(sqrt(9))+4!+(3!)!})/(sqrt(67)),
(42)

精度為 17 位數字 (G. W. Barbosa, 私人通訊)。

M. Schneider (私人通訊, 5月 6, 2008) 發現了近似值

pi approx sqrt(7+sqrt(6+sqrt(5))),
(43)

精度為 3 位十進位制數字。P. Lindborg (私人通訊) 指出收斂項 104348/33125 可以寫成略微奇特的形式

(314+142)/(2·3·5·7)(1373)/(13·73),
(44)

精度為 9 位數字。

E. Pegg 給出的其他近似值包括

pi approx 4-((105)/(166))^(1/3),
(45)

精度為 6 位數字 (私人通訊, 3月 2, 2002) 和

pi approx (22)/(17)+(37)/(47)+(88)/(83),
(46)

精度為 9 位數字 (私人通訊, 12月 30, 2002)。

一個涉及 立方根 的簡單近似值是

pi approx 31^(1/3),
(47)

精度為 3 位數字 (M. Joseph, 私人通訊, 5月 3, 2006)。一個更奇特的近似值由下式給出

pi approx (ln6)^((ln5)^((ln4)^((ln3)^(ln2)))),
(48)

精度為 4 位數字 (M. Joseph, 私人通訊, 5月 3, 2006)。

Castellanos (1988ab) 給出了大量有趣的公式

pi approx (2e^3+e^8)^(1/7)
(49)
approx ((553)/(311+1))^2
(50)
approx (3/(14))^4((193)/5)^2
(51)
approx ((296)/(167))^2
(52)
approx ((66^3+86^2)/(55^3))^2
(53)
approx 1.09999901·1.19999911·1.39999931·1.69999961
(54)
approx (47^3+20^3)/(30^3)-1
(55)
approx 2+sqrt(1+((413)/(750))^2)
(56)
approx ((77729)/(254))^(1/5)
(57)
approx (31+(62^2+14)/(28^4))^(1/3)
(58)
approx (1700^3+82^3-10^3-9^3-6^3-3^3)/(69^5)
(59)
approx (95+(93^4+34^4+17^4+88)/(75^4))^(1/4)
(60)
approx (100-(2125^3+214^3+30^3+37^2)/(82^5))^(1/4),
(61)

它們的精度分別為 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12 和 13 位數字。Shanks (1982) 給出的一個極其精確的近似值是

pi approx 6/(sqrt(3502))ln(2u)+7.37×10^(-82),
(62)

其中 u 是四個簡單四次單位的乘積。

David W. Hoffman (私人通訊) 給出了

pi approx ((10^(100))/(11222.11122))^(1/193),
(63)

其中分子是一個 googol，精度為 9 位數字。近似值

pi approx e^(e^(e^(-2)))
(64)
approx 2+e^(e^(-2))
(65)

給出 2 位數字 (G. von Hippel, 私人通訊)。

Plouffe 和 Borwein 以及 Bailey (2003, pp. 115 和 134-135) 給出的一系列近似值包括

pi approx 43^(7/23)
(66)
approx (ln2198)/(sqrt(6))
(67)
approx ((13)/4)^(1181/1216)
(68)
approx (689)/(396ln((689)/(396)))
(69)
approx ln5280sqrt(9/(67))
(70)
approx ((63023)/(30510))^(1/3)+1/4+1/2(sqrt(5)+1)
(71)
approx (48)/(23)ln((60318)/(13387))
(72)
approx (228+(16)/(1329))^(1/41)+2
(73)
approx (125)/(123)ln((28102)/(1277))
(74)
approx 3/(sqrt(163))ln(640320)
(75)
approx ((276694819753963)/(226588))^(1/158)+2
(76)
approx (ln(640320^3+744))/(sqrt(163)),
(77)

它們的精度分別為 4, 5, 7, 7, 9, 10, 11, 11, 11, 15, 23 和 30 位數字。

最後一個表示式，來自 j-函式 的級數展開。再進一步得到

-e^(pisqrt(163))+744-196886e^(-pisqrt(163))+...=-640320^3
(78)
e^(pisqrt(163))(1+196884e^(-2pisqrt(163))) approx 640320^3+744
(79)
e^(2pisqrt(163))(1+196884e^(-2pisqrt(163)))^2 approx (640320^3+744)^2
(80)
e^(2pisqrt(163))+2·196884 approx (640320^3+744)^2
(81)

得到

pi approx (ln[(640320^3+744)^2-2·196884])/(2sqrt(163)),
(82)

精度為 46 位十進位制數字 (Warda, 私人通訊, 11月 15, 2004)。

PiApproximationsSqrt

有趣的是，對於越來越大的 n，ln(nint(exp(pisqrt(163n))))/sqrt(163n) 給出越來越好的 pi 近似值 (Warda, 私人通訊, 11月 22, 2004)。特別是，對於 n=1, 2, ...，正確數字的位數由 30, 28, 31, 46, 40, 44, 48, 51, 61, 57, 59, 62, 65 (OEIS A100935) 給出。

Stoschek 使用二的冪和特殊數字 163 (最大的 海格納數) 給出的近似值為

pi approx (2^9)/(163)=(512)/(163) approx 3.1411043,
(83)

精度為 3 位數字。一個分子和分母都很小的分數，可以很好地近似 pi 是

(311)/(99)=3.14141414....
(84)

一些涉及有理數九次方根的近似值包括

pi approx ((4297607660)/(144171))^(1/9)
(85)
approx ((34041350274878)/(1141978491))^(1/9),
(86)

它們的精度分別為 12 位和 15 位數字 (P. Galliani, 私人通訊)。

de Jerphanion (私人通訊) 發現

pi approx ln(23+1/(22)+2/(21))=ln(23+1/6-2/(77))=ln((10691)/(462)),
(87)

精度為 9 位數字，J. Iuliano 發現

pi approx ((19)/(60)+1/(sqrt(3·123449)))^(-1),
(88)

精度為 11 位數字。

Backhouse (1995) 和 Lucas (2005) 考慮了給出 pi 近似值的定積分。

F. Voormanns (私人通訊, 12月 12, 2003) 發現了有趣的 астрономический 近似值

pi approx 1/( week)((13 years-6 weeks)/(13 years)+3 weeks),
(89)

如果將一年視為精確的 365 天，則精度為 8 位數字；如果使用平均公曆年 (365.2425 天) 或迴歸年 (365.242190 天)，則精度為 6 位數字。

Rivera 給出了其他近似公式。

另請參閱

幾乎是整數, Pi, Pi 連分數, Pi 數字, Pi 公式

使用 探索

參考文獻

Backhouse, N. "Note 79.36. Pancake Functions and Approximations to pi." Math. Gaz. 79, 371-374, 1995.Berndt, B. C. 拉馬努金筆記本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, 1994.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的似真推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988a.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part II." Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.Contest Center. "Pi Competition." http://www.contestcen.com/pi.htm.Friedman, E. "Problem of the Month (August 2004)." https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0804.html.Hardy, G. H. 純粹數學教程，第 10 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1952.Lucas, S. K. "Integral Proofs that 355/113>pi." Gaz. Austral. Math. Soc. 32, 263-266, 2005.Pegg, E. Jr. "For Pi Day: Volume = 3.141--The Canonical Tetragonal Antiwedge Hexahedron." 3月 14, 2018. https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/1301599.Plouffe, S. "A Few Approximations of Pi." http://pi.lacim.uqam.ca/eng/approximations_en.html.Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 050-The Best Approximation to Pi with Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_050.htm.Shanks, D. "Dihedral Quartic Approximations and Series for pi." J. Number. Th. 14, 397-423, 1982.Sloane, N. J. A. Sequences A002485/M3097, A002486/M4456, A100935, 和 A114526 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wells, D. 好奇和有趣的數字企鵝詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, 1986.

在 中引用

Pi 近似值

引用為

Weisstein, Eric W. "Pi 近似值。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PiApproximations.html

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