圓周率的簡單連分數表示為 [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...] (OEIS A001203)。上方顯示了以二進位制位序列表示的連分數的前 256 項的圖。
前幾個收斂項是 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, ... (OEIS A002485 和 A002486)，它們分別精確到 0, 2, 4, 6, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, ... (OEIS A114526) 位十進位制數字。
非常大的項 292 意味著收斂項
![[3;7,15,1]=[3,7,16]=(355)/(113)=3.14159292...](/images/equations/PiContinuedFraction/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
是一個非常好的近似值，精確到小數點後六位，最早由天文學家祖沖之在公元五世紀發現 (Gardner 1966, pp. 91-102)。一個關於
的第三個收斂項的優美表示式由下式給出
![pi approx 2[1;1,1,3,32]=(355)/(113) approx 3.14159292...](/images/equations/PiContinuedFraction/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
(Stoschek)。
的Engel 展開式為 1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ... (OEIS A006784)。
下表總結了一些關於圓周率連分數的記錄計算。
| 項數 | 日期 | 參考文獻 |
 | 1977 | W. Gosper (Gosper 1977, Ball and Coxeter 1987) |
 | 1999 年 6 月 | H. Havermann (Plouffe) |
 | 2002 年 3 月 | H. Havermann (Bickford) |
 | 2010 年 10 月 | N. Bickford (Bickford 2010, Wolfram Blog Team 2011) |
 | 2010 年 12 月 | E. W. Weisstein |
 | 2011 年 9 月 16 日 | E. W. Weisstein |
 | 2011 年 9 月 17 日 | E. W. Weisstein |
 | 2011 年 9 月 18 日 | E. W. Weisstein |
 | 2013 年 7 月 18 日 | E. W. Weisstein |
 | 2013 年 7 月 27 日 | E. W. Weisstein |
在連分數中，首次出現 
, 2, ... 的位置分別是 3, 8, 0, 29, 39, 31, 1, 43, 129, 99, ... (OEIS A225802)。在首個 
項中未出現的最小整數是 49004, 50471, 53486, 56315, ... (E. Weisstein, 2013 年 7 月 27 日)。連分數中遞增項的序列是 3, 7, 15, 292, 436, 20776, 78629, 179136, 528210, 12996958, 878783625, 5408240597, 5916686112, 9448623833, ... (OEIS A033089)，它們出現在位置 1, 2, 3, 5, 308, 432, 28422, 156382, 267314, 453294, 11504931 ... (OEIS A033090)。
設 
的連分數表示為 ![[a_0;a_1,a_2,...]](/images/equations/PiContinuedFraction/Inline16.svg)
，並設收斂項的分母表示為 
, 
, ..., 
。那麼上面的圖顯示了 
, 
, 
的連續值，它們似乎收斂到 Khinchin 常數（左圖）和 
，它們似乎收斂到 Lévy 常數（右圖），儘管這些極限都沒有得到嚴格的證明。
下表給出了 
位數項在 
的連分數中首次出現的情況，其中將 3 視為第 0 項（例如，Choong 等人 1971，Beeler 等人 1972）。
 | OEIS | 項/位置 |
| 1 | A048292 | 3, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, ... |
| A048293 | 0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, ... | |
| 2 | A048294 | 15, 14, 84, 15, 13, 99, 12, 16, 45, 22, ... |
| A048955 | 2, 12, 21, 25, 27, 33, 54, 77, 80, 82, ... | |
| 3 | A048956 | 292, 161, 120, 127, 436, 106, 141, ... |
| A048957 | 4, 79, 196, 222, 307, 601, 669, 725, ... | |
| 4 | A048958 | 1722, 2159, 8277, 1431, 1282, 2050, ... |
| A048959 | 3273, 3777, 3811, 4019, 4700, 6209, ... | |
| 5 | A048960 | 20776, 19055, 19308, 78629, 17538, ... |
| A048961 | 431, 15543, 23398, 28421, 51839, ... | |
| 6 | 179136, 528210, 104293, 196030, ... | |
| 156381, 267313, 294467, 513205, ... | ||
| 7 | 8093211, 1811791, 3578547, 4506503, ... | |
| 1118727, 2782369, 2899883, 3014261, ... | ||
| 8 | 12996958 ,19626118, 12051Q034, 13435395, ... | |
| 453293, 27741604, 46924606, 50964645, ... | ||
| 9 | 878783625, 317579569, ... | |
| 11504930, 74130513, ... |
的簡單連分數沒有顯示出任何明顯的模式，但在優美的非簡單連分數中，清晰的模式確實出現了
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(3)
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(Brouncker)，給出收斂項 1, 3/2, 15/13, 105/76, 315/263, ... (OEIS A025547 和 A007509) 以及
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(4)
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(Stern 1833)，給出收斂項 1, 2/3, 4/3, 16/15, 64/45, 128/105, ... (OEIS A001901 和 A046126)。
and the Derived Decimal Approximation. Stanford, CA: Artificial Intelligence Laboratory, Stanford University, Oct. 1975. Reviewed in Math. Comput. 31, 1044, 1977.Havermann, H. "Simple Continued Fraction Expansion of Pi." 
." Monatsh. für Math. 67, 311-316, 1963.Sloane, N. J. A. Sequences