主題
Search

收斂

下載 Mathematica 筆記本下載 Wolfram 筆記本

“收斂”一詞在數學中有許多不同的含義。

最常見的是，它是一個形容詞，用於描述收斂序列或收斂級數，它本質上意味著相應的級數或序列接近某個極限（D'Angelo 和 West 2000, p. 259）。

透過僅保留連分數中有限項數而獲得的有理數也稱為收斂項。例如，在黃金比例的簡單連分數中，

phi=1+1/(1+1/(1+...)),
(1)

收斂項是

1,1+1/1,1+1/(1+1/1),...=12,3/2,....
(2)

收斂項通常表示為 A_n/B_n, p_n/q_n, P_n/Q_n （整數比率），或 c_n （有理數）。

給定一個簡單連分數 [b_0;b_1,b_2,...], 第 n 個收斂項由以下三對角矩陣行列式的比率給出

(A_n)/(B_n)=(|b_0 -1 0 ... 0; 1 b_1 -1 ... 0; 0 1 b_2 ... 0; 0 0 1 ... -1; 0 0 0 ... b_n|)/(|b_1 -1 ... 0; 1 b_2 ... 0; 0 1 ... -1; 0 0 ... b_n|).
(3)

例如，pi=[3;7,15] 的第三個收斂項是

(A_3)/(B_3)=(|3 -1 0; 1 7 -1; 0 1 15|)/(|7 -1; 1 15|)=(333)/(106).
(4)

在Wolfram 語言中，Convergents[terms] 給出對應於指定連分數項列表的收斂項列表，而Convergents[x, n] 給出數字 x 的前 n 個收斂項。

考慮簡單連分數 [b_0;b_1,b_2,...] 的收斂項 c_n=A_n/B_n，並定義

A_(-1)=1
(5)
B_(-1)=0
(6)
A_0=b_0
(7)
B_0=1.
(8)

然後，可以使用遞推關係計算後續項

A_k=b_kA_(k-1)+A_(k-2)
(9)
B_k=b_kB_(k-1)+B_(k-2).
(10)

k=1, 2, ..., n.

對於廣義連分數 K_(k=1)^(infty)a_k/b_k，遞推關係推廣為

A_k=b_kA_(k-1)+a_kA_(k-2)
(11)
B_k=b_kB_(k-1)+a_kB_(k-2).
(12)

連分數基本遞推關係 對於簡單連分數是

A_nB_(n-1)-A_(n-1)B_n=(-1)^(n+1).
(13)

如果 b_0!=0，則這也是正確的

(A_n)/(A_(n-1))=[b_n;b_(n-1),...,b_0]
(14)
(B_n)/(B_(n-1))=[b_n;b_(n-1),...,b_1].
(15)

此外，

(A_n)/(B_n)=(A_(n+1)-A_(n-1))/(B_(n+1)-B_(n-1)).
(16)

此外，如果收斂項 c_n=A_n/B_n>1，則

(B_n)/(A_n)=[0;b_0,b_1,...,b_n].
(17)

類似地，如果 c_n=A_n/B_n<1，則 b_0=0 並且

(B_n)/(A_n)=[0;b_1,...,b_n].
(18)

收斂項 A_n/B_n 也滿足

(A_n)/(B_n)-(A_(n-1))/(B_(n-1))=((-1)^(n+1))/(B_nB_(n-1))
(19)
(A_n)/(B_n)-(A_(n-2))/(B_(n-2))=(b_n(-1)^n)/(B_nB_(n-2)).
(20)
CFConvergents

上面以半對數刻度繪製的是 c_n-pi （n 偶數；左圖）和 pi-c_n （n 奇數；右圖）作為 n 的函式，用於 pi 的收斂項。一般來說，無限簡單連分數的偶數收斂項 c_(2n) 對於數字 x 形成遞增序列，而奇數收斂項 c_(2n+1) 形成遞減序列（因此任何偶數收斂項都小於任何奇數收斂項）。總結如下：

c_0<c_2<c_4<...<c_(2n-2)<c_(2n)<...<x
(21)
x<...<c_(2n+1)<c_(2n-1)<c_5<c_3<c_1.
(22)

此外，對於 n>=3，每個收斂項都位於前兩個收斂項之間。每個收斂項都比前一個更接近無限連分數的值。此外，對於數字 x=[b_0;b_1,b_2,...]，

1/((b_(n+1)+2)B_n^2)<|x-(A_n)/(B_n)|<1/(b_(n+1)B_n^2).
(23)

在搜尋連分數恆等式的過程中，Raayoni (2021) 和 Elimelech et al. (2023) 注意到，雖然收斂項 p_n/q_n 的分子和分母通常呈階乘增長，但對於 g_n=GCD(p_n,q_n)，約簡後的分子和分母 p_n/g_n 和 q_n/g_n 最多呈指數增長，即 s^n。他們將這種現象稱為階乘約簡，並指出雖然它在一般情況下極為罕見，但它適用於 Ramanujan 機器最初發現的所有恆等式 (Raayoni et al. 2021)。

另請參閱

連分數, 收斂序列, 收斂級數, 階乘約簡, 廣義連分數, 極限, 部分分母, 簡單連分數 在 課堂中探索這個主題

使用 探索

WolframAlpha

更多嘗試

參考文獻

D'Angelo, J. P. 和 West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2000.Elimelech, R.; David, O.; De la Cruz Mengual, C.; Kalisch, R.; Berndt, W.; Shalyt, M.; Silberstein, M.; Hadad, Y.; 和 Kaminer, I. "Algorithm-Assisted Discovery of an Intrinsic Order Among Mathematical Constants." 2023 年 8 月 22 日。 https://arxiv.org/abs/2308.11829.Liberman, H. Simple Continued Fractions: An Elementary to Research Level Approach. SMD Stock Analysts, pp. II-9-II-10, 2003.Raayoni, G; Gottlieb, S.; Manor, Y.; Pisha, G.; Harris, Y.; Mendlovic, U.; Haviv, D.; Hadad, Y.; 和 Kaminer, I. "Generating Conjectures on Fundamental Constants With the Ramanujan Machine." Nature 590, 67-73, 2021.

在 中引用

收斂

請引用為

Weisstein, Eric W. "收斂." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Convergent.html

主題分類