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收斂級數

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如果一個級數趨近於某個極限（D'Angelo 和 West 2000, p. 259），則稱該級數為收斂級數。

形式上，無窮級數 sum_(n=1)^(infty)a_n 是收斂的，如果部分和序列

S_n=sum_(k=1)^na_k
(1)

是收斂的。相反地，如果部分和序列是發散的，則級數是發散的。如果 sumu_k 和 sumv_k 是收斂級數，那麼 sum(u_k+v_k) 和 sum(u_k-v_k) 也是收斂的。如果 c!=0, 那麼 sumu_k 和 csumu_k 要麼都收斂，要麼都發散。從級數的開頭刪除有限數量的項不會影響收斂性和發散性。序列分母中的常數項通常可以刪除，而不會影響收斂性。級數的分子和分母中的多項式中，除了最高冪項之外的所有項通常都可以刪除，而不會影響收斂性。

如果由取其項的絕對值形成的級數收斂（在這種情況下，它被稱為絕對收斂），則原始級數收斂。

可以使用Wolfram 語言中的以下函式確定級數的收斂條件：SumConvergence[a, n]。

級數

sum_(n=2)^(infty)1/(nlnn)=infty
(2)
sum_(n=3)^(infty)1/(nlnn(lnlnn))=infty
(3)

都透過積分判別法發散，儘管後者需要 googolplex 數量級的項，部分和才會超過 10 (Zwillinger 1996, p. 39)。相比之下，級數和

sum_(n=2)^infty1/(n(lnn)^2) approx 2.109742801236
(4)

(Baxley 1992; Braden 1992; Zwillinger 1996, p. 39; Kreminski 1997; OEIS A115563) 和

sum_(n=3)^infty1/(nlnn(lnlnn)^2) approx 38.4067680928...
(5)

(OEIS A118582; Mathar 2009) 透過積分判別法收斂，儘管後者收斂非常緩慢，以至於需要 10^(3.14×10^(86)) 項才能獲得兩位數的精度 (Zwillinger 1996, p. 39)。兩者都可以使用尤拉-麥克勞林積分公式求和。

另請參閱

絕對收斂, 條件收斂, 收斂性檢驗, 收斂的, 收斂序列, 發散級數, 極限, 收斂半徑, 一致收斂 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Baxley, J. V. "Euler's Constant, Taylor's Formula, and Slowly Converging Series." Math. Mag. 65, 302-313, 1992.Braden, B. "Calculating Sums of Infinite Series." Amer. Math. Monthly 99, 649-655, 1992.Bromwich, T. J. I'A. 和 MacRobert, T. M. 無窮級數理論導論，第 3 版 New York: Chelsea, 1991.D'Angelo, J. P. 和 West, D. B. 數學思維：問題解決和證明，第 2 版 Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2000.Kreminski, R. "Using Simpson's Rule to Approximate Sums of Infinite Series." College Math. J. 28, 368-376, 1997.Mathar, R. J. "級數極限 sum_(k)1/[klogk(loglogk)^2]." 2009 年 2 月 4 日。 http://arxiv.org/abs/0902.0789.Sloane, N. J. A. 序列 A115563 和 A118582，來自“整數序列線上百科全書”。Zwillinger, D. (Ed.). CRC 標準數學表格和公式，第 30 版 Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

在 中被引用

收斂級數

請引用為

Weisstein, Eric W. “收斂級數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ConvergentSeries.html

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