收斂半徑

一個 冪級數 僅對 x 的某些值收斂 。例如， 在 時收斂。一般來說，總存在一個區間 ，冪級數在該區間內收斂，數字 稱為收斂半徑（而區間本身稱為收斂區間）。量 稱為收斂半徑，因為在復係數冪級數的情況下，滿足 且 的 x 值構成一個半徑為 的 開圓盤。

一個 冪級數 在其收斂半徑內總是 絕對收斂 的。這可以透過固定 並假設存在一個 子序列 使得 是 無界 的來理解。那麼冪級數 不 收斂 （實際上，這些項是無界的），因為它未透過 極限判別法。因此，對於滿足 且 的 x，冪級數不收斂，其中

(1)

(2)

並且 表示 上極限。

相反，假設 。那麼對於任何滿足 且 的半徑 s，項 滿足

(3)

對於足夠大的 （取決於 ）。只需要在 和 之間固定一個 s 值。因為 ，所以冪級數被一個收斂的 幾何級數 控制。因此，根據 極限比較判別法，冪級數絕對收斂。