主題
Search

幾何級數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

幾何級數 sum_(k)a_k 是一種級數，其中任意兩個連續項的比率 a_(k+1)/a_k 是求和索引 k 的常數函式。比率為有理函式 rational function k 的更一般情況產生一種稱為 hypergeometric series 的級數。

對於最簡單的情況，即比率 a_(k+1)/a_k=r 等於常數 r，項 a_k 的形式為 of the form a_k=a_0r^k。令 a_0=1，具有常數 |r|<1 的 geometric sequence {a_k}_(k=0)^n 由下式給出

S_n=sum_(k=0)^na_k=sum_(k=0)^nr^k
(1)

由下式給出

S_n=sum_(k=0)^nr^k=1+r+r^2+...+r^n.
(2)

將兩邊乘以 r 得到

rS_n=r+r^2+r^3+...+r^(n+1),
(3)

然後從 (2) 中減去 (3) 得到

(1-r)S_n=(1+r+r^2+...+r^n)-(r+r^2+r^3+...+r^(n+1))
(4)
=1-r^(n+1),
(5)

所以

S_n=sum_(k=0)^nr^k=(1-r^(n+1))/(1-r).
(6)

對於 -1<r<1，當 n->infty 時，總和收斂，在這種情況下

S=S_infty=sum_(k=0)^inftyr^k=1/(1-r)
(7)

類似地，如果總和從 k=1 而不是 k=0 開始取

sum_(k=1)^(n)r^k=(r(1-r^n))/(1-r)
(8)
sum_(k=1)^(infty)r^k=r/(1-r),
(9)

後者對於 |r|<1 有效。

另請參閱

算術級數, 加百列階梯, 調和級數, 超幾何級數, 聖艾夫斯問題, 麥粒與棋盤問題 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (編輯). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278-279, 1985.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 13-14, 1996.Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134-135, 1989.

在 上引用

幾何級數

請引用為

Weisstein, Eric W. "幾何級數。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/GeometricSeries.html

主題分類