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算術級數

算術級數是一個和，它是一序列 {a_k}, k=1, 2, ..., 的各項之和，其中每一項是透過在前一項上加上（或減去）一個常數 d 來計算的。因此，對於 k>1，

a_k=a_(k-1)+d=a_(k-2)+2d=...=a_1+d(k-1).
(1)

前 n 項的序列之和由下式給出

S_n=sum_(k=1)^(n)a_k
(2)
=sum_(k=1)^(n)[a_1+(k-1)d]
(3)
=na_1+dsum_(k=1)^(n)(k-1)
(4)
=na_1+dsum_(k=2)^(n)(k-1)
(5)
=na_1+dsum_(k=1)^(n-1)k.
(6)

使用求和恆等式

sum_(k=1)^nk=1/2n(n+1)
(7)

然後得到

S_n=na_1+1/2dn(n-1)=1/2n[2a_1+d(n-1)].
(8)

然而，請注意

a_1+a_n=a_1+[a_1+d(n-1)]=2a_1+d(n-1),
(9)

所以

S_n=1/2n(a_1+a_n),
(10)

或者說是首項和末項的算術平均值的 n 倍！這是高斯還是個小學生時用來解決老師佈置的作業：計算從 1 到 100 的整數之和的技巧。當他的同學們埋頭苦幹地進行加法運算時，高斯寫下了一個數字，即正確的答案

1/2(100)(1+100)=50·101=5050
(11)

在他的石板上 (Burton 1989, pp. 80-81; Hoffman 1998, p. 207)。當答案被檢查時，證明高斯的答案是唯一正確的。

另請參閱

等差數列, 公差, 幾何級數, 調和級數, 素數等差數列 在 課堂中探索這個主題

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.Burton, D. M. Elementary Number Theory, 4th ed. Boston, MA: Allyn and Bacon, 1989.Courant, R. and Robbins, H. "The Arithmetical Progression." §1.2.2 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 12-13, 1996.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.Pappas, T. The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 164, 1989.

在 上被引用

算術級數

引用為

Weisstein, Eric W. "算術級數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ArithmeticSeries.html

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