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進行比較。 然而，發散速度非常緩慢。 調和級數的發散性最早由 Nicole d'Oresme（約 1323-1382 年）證明，但幾個世紀以來一直被忽視（Havil 2003, p. 23; Derbyshire 2004, pp. 9-10）。 Pietro Mengoli 在 1647 年、Johann Bernoulli 在 1687 年以及 Jakob Bernoulli 在此之後不久再次證明了這個結果 (Derbyshire 2004, pp. 9-10)。
個調和數解析地給出
是
是
是正則數的 
的唯一值是 
、2 和 6 (Havil 2003, pp. 24-25)。
超過 1、2、3、... 所需的項數分別是 1、4、11、31、83、227、616、1674、4550、12367、33617、91380、248397、... (OEIS A004080; DeTemple and Wang 1991)。 使用解析形式表明，在 
項之後，總和仍然小於 20。 此外，為了獲得大於 100 的總和，需要超過 
項！ 顯式地寫出，項數為
、
、
、... 所需的項數分別是 12367、15092688622113788323693563264538101449859497、
、... (OEIS A096618)。
求和也發散 (Wells 1986, p. 41)，其漸近行為為
是梅爾滕斯常數。
![sum_(k=1)^n((-1)^(k-1))/k=ln2+1/2(-1)^n[psi_0(1/2+1/2n)-psi_0(1+1/2n)].](/images/equations/HarmonicSeries/NumberedEquation8.svg)
項之後，該級數大約等於 2.163。