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圖書堆疊問題


BookStacking

一堆 n 本書可以伸出桌子邊緣多遠而不會倒塌?結果表明,n 本書的最大可能懸垂距離 d_n (以書長為單位)是 調和級數的第 n 個部分和的一半。

BookStackingOverhangs

這由下式明確給出

 d_n=1/2sum_(k=1)^n1/k=1/2H_n,
(1)

其中 H_n 是一個 調和數。 前幾個值是

d_1=1/2=0.5
(2)
d_2=3/4=0.75
(3)
d_3=(11)/(12) approx 0.91667
(4)
d_4=(25)/(24) approx 1.04167
(5)

(OEIS A001008A002805)。

BookStackingCards

當考慮堆疊一副 52 張牌以獲得最大懸垂時,在滑動 51 張牌並固定底部一張牌後,獲得的總懸垂量為

d_(51)=1/2H_(51)
(6)
=(14004003155738682347159)/(6198089008491993412800)
(7)
=2.25940659073333...
(8)

(Derbyshire 2004, 第 6 頁)。

為了找到獲得 d 個書長的懸垂距離所需的堆疊書本數量,求解關於 dd_n 方程,並取 上限函式。對於 n=1, 2, ... 個書長的懸垂距離,需要 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, 675214, 4989191, 36865412, 272400600, ... 本書 (OEIS A014537)。

當每層可以使用不止一本書或一張牌時,問題變得更加複雜。例如,使用堆疊成油燈形狀的卡片,使用 921 個方塊可以實現 10 個單位的懸垂距離 (Paterson and Zwick 2006)。


另請參閱

調和數, 調和級數

使用 探索

參考文獻

Boas, R. “Cantilevered Books.” Amer. J. Phys. 41, 715, 1973.Derbyshire, J. 素數之戀:伯恩哈德·黎曼與數學中最大的未解之謎 (Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics). New York: Penguin, pp. 3-8, 2004.Dickau, R. M. “圖書堆疊問題” (The Book-Stacking Problem). http://www.prairienet.org/~pops/BookStacking.html.Eisner, L. “物理評論的斜塔” (Leaning Tower of the Physical Review). Amer. J. Phys. 27, 121, 1959.Gamow, G. and Stern, M. 謎題數學 (Puzzle Math). New York: Viking, 1958.Gardner, M. 馬丁·加德納的《科學美國人》數學遊戲第六輯 (Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American). New York: Scribner's, pp. 167-169, 1971.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. 具體數學:計算機科學基礎 (Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science). Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 272-274, 1990.Hall, J. F. “堆疊積木的樂趣” (Fun with Stacking Blocks). Amer. J. Phys. 73, 1107-1116, 2005.Havil, J. “最大可能的懸垂距離” (Maximum Possible Overhang). §13.11 in 伽瑪:探索尤拉常數 (Gamma: Exploring Euler's Constant). Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 132-133, 2003.Johnson, P. B. “里拉斜塔” (Leaning Tower of Lire). Amer. J. Phys. 23, 240, 1955.Paterson, M. and Zwick, U. “懸垂” (Overhang). In 第十七屆 ACM-SIAM 離散演算法年度研討會論文集,於 2006 年 1 月 22 日至 24 日在佛羅里達州邁阿密舉行 (Proceedings of the Seventeenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, Held in Miami, FL, January 22-24, 2006) Philadelphia, PA: SIAM, pp. 231-240, 2006.Pickover, C. A. “關於圖書斜塔的一些實驗” (Some Experiments with a Leaning Tower of Books). Computer Language 7, 159-160, 1990.Pickover, C. A. 計算機與想象力 (Computers and the Imagination). New York: St. Martin's Press, 1991.Pickover, C. A. 綠野仙蹤的數學:來自邊緣的精神體操 (The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge). New York: Cambridge University Press, p. 238, 2002.Sharp, R. T. “問題 52” (Problem 52). Pi Mu Epsilon J. 1, 322, 1953.Sharp, R. T. “問題 52” (Problem 52). Pi Mu Epsilon J. 2, 411, 1954.Sloane, N. J. A. 序列 A001008/M2885, A002805/M1589, 和 A014537,收錄於“整數序列線上百科全書” (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)。Sutton, R. “平衡問題” (A Problem of Balancing). Amer. J. Phys. 23, 547, 1955.Walker, J. 帶答案的物理飛馬戲團 (The Flying Circus of Physics with Answers). New York: Wiley, 1977.

在 中被引用

圖書堆疊問題

請引用為

Weisstein, Eric W. “圖書堆疊問題” (Book Stacking Problem). 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/BookStackingProblem.html

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