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交錯級數

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形如以下的級數 形式

sum_(k=1)^infty(-1)^(k+1)a_k
(1)

或

sum_(k=1)^infty(-1)^ka_k,
(2)

其中 a_k>0。

具有正項的級數可以使用以下方法轉換為交錯級數

sum_(r=1)^inftyv_r=sum_(r=1)^infty(-1)^(r-1)w_r,
(3)

其中

w_r=v_r+2v_(2r)+4v_(4r)+8v_(8r)+....
(4)

交錯級數的顯式值包括

sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k!)=1/e
(5)
sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k-1))/k=ln2
(6)
sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k-1))/(k^2)=1/(12)pi^2
(7)
sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k-1))/(k^3)=3/4zeta(3),
(8)

其中 zeta(3) 是 Apéry 常數，並且形式為 (6) 到 (8) 的和是狄利克雷 eta 函式的特例。

以下交錯級數收斂，但顯然沒有已知的閉合形式，

C=sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n+1)[e-(1+1/n)^n]
(9)
=sum_(n=1)^(infty)[(1+1/(2n))^(2n)-(1+1/(2n-1))^(2n-1)]
(10)
=0.44562240319...
(11)

(OEIS A114884)。

另請參閱

卡亨常數, 狄利克雷 Eta 函式, e, 自然對數 2, 級數

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. "交錯級數。" §5.3 in 物理學家數學方法，第 3 版。 奧蘭多，佛羅里達州：學術出版社，pp. 293-294, 1985。Bromwich, T. J. I'A. 和 MacRobert, T. M. "交錯級數。" §19 in 無窮級數理論導論，第 3 版。 紐約：切爾西，pp. 55-57, 1991。Gardner, M. 科學美國人數學遊戲第六書。 芝加哥，伊利諾伊州：芝加哥大學出版社，p. 170, 1984。Hoffman, P. 只愛數字的人：保羅·埃爾德什的故事和對數學真理的探索。 紐約：海波龍，p. 218, 1998。Pinsky, M. A. "交錯級數的平均。" 數學雜誌。 51, 235-237, 1978。Shallit, J. 和 Davidson, J. L. "一些交錯級數的連分數。" 數學月刊。 111, 119-126, 1991。Sloane, N. J. A. 序列 A114884 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中引用

交錯級數

請引用為

Weisstein, Eric W. "交錯級數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AlternatingSeries.html

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