自然對數 2

2 的自然對數是一個超越量，常出現在衰減問題中，尤其是在半衰期轉換為衰減常數時。 的數值為

(OEIS A002162)。

無理數測度 已知小於 3.8913998 (Rukhadze 1987, Hata 1990)。

尚不清楚 是否為正規數 (Bailey and Crandall 2002)。

交錯級數 和 BBP 型公式

收斂到自然對數 2，其中 是 狄利克雷 eta 函式。這個恆等式直接從在 墨卡託級數中設定 得出，得到

它也是恆等式的一個特例

其中 是 勒奇超越函式。

這是此類無限類恆等式中最簡單的一個，前幾個是

(E. W. Weisstein, 10 月 7 日，2007 年)。

還有許多其他類別的 BBP 型公式 用於 ，包括

Plouffe (2006) 發現了美麗的求和公式

A. Lupas 提出的快速收斂的 Zeilberger 型求和公式由下式給出

(Lupas 2000；勘誤已更正)。

以下積分以 表示，

上面的圖顯示了截斷 在 項後的級數的結果。

取部分級數給出解析結果

其中 是 雙伽瑪函式， 是 調和數。令人驚訝的是，在無窮遠處展開得到級數

(Borwein 和 Bailey 2002, p. 50)，其中 是 正切數。這意味著在 10 的較大冪的一半處截斷 的級數可以給出 的十進位制展開式，其十進位制數字大部分是正確的，但錯誤數字以精確的規律出現。

例如，取 得到一個十進位制值，該值等於上面第二行數字，其中與頂行中 的十進位制數字的差異序列恰好是帶有交替符號的正切數 (Borwein 和 Bailey 2002, p. 49)。

用於 的漂亮的 BBP 型公式 由下式給出

(Bailey et al. 2007, p. 31) 和

(Borwein 和 Bailey 2002, p. 129)。

使用 PSLQ 演算法 發現的用於 的 BBP 型公式 為

(Bailey 和 Plouffe 1997；Borwein 和 Bailey 2002, p. 128)。

求和

具有極限

(Borwein et al. 2004, p. 10)。