無理數性度量

設 為一個實數，並設 為 集合，其中包含使得下式成立的正實數

(1)

對於 ，至多有有限多個解 和 整數。那麼，無理數性度量（有時稱為劉維爾-羅斯常數或無理數性指數）被定義為劉維爾逼近定理開始生效，並且 不再能被有理數逼近的閾值，

(2)

其中 是下確界。如果集合 為空，則 被定義為 ，並且 被稱為劉維爾數。對於非空 ，存在三種可能的機制：

(3)

其中過渡情況 可能對應於 是度數 的代數數或者 是超越數。證明對於代數數 ， 是一個困難的結果，Roth 因此獲得了菲爾茲獎。

無理數性度量的定義等價於以下陳述：如果 的無理數性度量為 ，則 是使得不等式

(4)

對於任何 和所有足夠大的 的整數 和 成立的最小數。

一個無理數 的無理數性度量可以用其簡單連分數展開式 及其收斂項 表示為

			(5)
			(6)

(Sondow 2004)。例如，黃金比例 具有

(7)

這直接從 (6) 和簡單連分數展開式 得出。

精確值包括 ，對於 劉維爾常數，以及 (Borwein 和 Borwein 1987, pp. 364-365)。截至 2020 年年中，其他常見常數的已知最佳上限總結在下表中，其中 是阿佩裡常數， 和 是 q-調和級數，下限均為 2。

常數	上限	參考文獻
	7.10320534	Zeilberger 和 Zudilin (2020)
	5.09541179	Zudilin (2013)
	3.57455391	Marcovecchio (2009)
	5.116201	Bondareva 等人 (2018)
	5.513891	Rhin 和 Viola (2001)
	2.9384	Matala-Aho 等人 (2006)
	2.4650	Zudilin (2004)

對於 的界限歸功於 Zeilberger 和 Zudilin (2020)，並在 Salikhov (2008) 先前發現的值 7.606308 上有所改進。它的精確值如下給出。設 為複共軛根

(8)

設 為正實根，並設

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

則界限由下式給出

(13)

Alekseyev (2011) 表明，弗林特山級數的收斂性問題與 的無理數性度量相關，特別是，收斂將暗示 ，這比目前已知的最佳上限要強得多。