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代數數

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如果 r 是一個非零 多項式方程 的根

a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0=0,
(1)

其中 a_is 是整數（或等價地，有理數），並且 r 不滿足任何類似次數小於 <n 的方程，那麼 r 被稱為次數為 n 的代數數。

不是代數數的數被稱為超越數。如果 r 是一個代數數且 a_n=1, 那麼它被稱為一個代數整數。

任何代數數都是一個代數週期，如果一個數不是一個代數週期，那麼它是一個超越數 (Waldschmidt 2006)。注意在這兩個陳述之間存在一個“ gap”，因為代數週期可能是代數的或超越的。

一般來說，代數數是複數，但它們也可能是實數。一個復代數數的例子是 i，一個實代數數的例子是 sqrt(2)，它們都是 2 次的。

代數數的集合表示為 A (Wolfram 語言)，或者有時為 Q^_ (Nesterenko 1999)，並在 Wolfram 語言 中實現為Algebraics.

然後可以使用命令在 Wolfram 語言 中測試一個數 x 是否為代數數Element[x, Algebraics]. 代數數在 Wolfram 語言 中表示為索引多項式根，符號為Root[f, n]，其中 n 是從 1 到多項式次數的數字（表示為所謂的“純函式”） f。

下表總結了一些重要的代數數及其次數的示例。

常數次數
康威常數 lambda71
提洛島常數 2^(1/3)3
圓盤覆蓋問題 r(5)8
弗雷曼常數2
黃金比例 phi2
黃金比例共軛 Phi2
格拉漢姆最大小六邊形 面積 A10
硬六邊形熵常數 kappa_h24
七階斐波那契常數7
六階斐波那契常數6
i2
李勃方冰常數2
Logistic 對映 3-週期開始 r_32
Logistic 對映 4-週期開始 r_42
Logistic 對映 5-週期開始 r_522
Logistic 對映 6-週期開始 r_640
Logistic 對映 7-週期開始 r_7114
Logistic 對映 8-週期開始 r_812
Logistic 對映 16-週期開始 r_(16)240
五階斐波那契常數5
塑性常數3
畢達哥拉斯常數 sqrt(2)2
白銀常數3
白銀比例2
四階斐波那契常數4
忒奧多羅斯常數2
三階斐波那契常數3
二十頂點熵常數2
沃利斯常數3

如果在以上方程中，a_is 不是整數，而是代數數 b_i，那麼任何

b_nx^n+b_(n-1)x^(n-1)+...+b_1x+b_0=0,
(2)

的根都是代數數。

如果 alpha 是次數為 n 的代數數，滿足多項式方程

(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)...=0,
(3)

那麼還有 n-1 個其他的代數數 beta，gamma，... 稱為 alpha 的共軛。此外，如果 alpha 滿足任何其他代數方程，那麼它的共軛也滿足相同的方程 (Conway and Guy 1996)。

參見

代數整數, 代數數最小多項式, 代數數論, 代數週期, 歐幾里得數, Hermite-Lindemann 定理, 數域, 根式整數, Q-Bar, 超越數 在 課堂中探索這個主題

使用 探索

參考文獻

Conway, J. H. and Guy, R. K. "Algebraic Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 189-190, 1996.Courant, R. and Robbins, H. "Algebraic and Transcendental Numbers." §2.6 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 103-107, 1996.Ferreirós, J. "The Emergence of Algebraic Number Theory." §3.3 in Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 94-99, 1999.Hancock, H. Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, Vol. 1: Introduction to the General Theory. New York: Macmillan, 1931.Hancock, H. Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, Vol. 2: The General Theory. New York: Macmillan, 1932.Koch, H. Number Theory: Algebraic Numbers and Functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 35, 1951.Narkiewicz, W. Elementary and Analytic Number Theory of Algebraic Numbers. Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1974.Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. Unpublished manuscript. 1999.Wagon, S. "Algebraic Numbers." §10.5 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 347-353, 1991.Waldschmidt, M. "Transcendence of Periods: The State of the Art." Pure Appl. Math. Quart. 2, 435-463, 2006.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.

在 上引用

代數數

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "代數數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AlgebraicNumber.html

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