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超越數

超越數是一個（可能是複數）不是任何整係數多項式的根的數，這意味著它不是任何次數的代數數。每個實超越數也必然是無理數，因為根據定義，有理數是一次代數數。

可以使用Wolfram 語言命令測試複數 z 以檢視它是否是超越數非[元素[x,代數數]].

超越數在數學史上非常重要，因為對它們的 исследвания 首次證明了化圓為方，這個困擾數學家 2000 多年的古代幾何問題實際上是不可解的。具體而言，為了使一個數能夠透過使用古希臘規則的幾何作圖產生，它必須是有理數或一種非常特殊的代數數，稱為歐幾里得數。由於數 pi 是超越數，因此無法按照希臘規則進行作圖。

劉維爾展示瞭如何使用劉維爾逼近定理構造特殊情況（例如 劉維爾常數）。特別是，他表明，任何具有快速收斂的有理逼近序列的數都必須是超越數。多年來，人們只知道如何確定特殊類別的數是否是超越數。確定更一般數的性質被認為是一個足夠重要的未解決問題，以至於它是希爾伯特問題之一。

格爾豐德定理隨後取得了巨大進展，該定理給出了一個通用規則，用於確定形式為 alpha^beta 的數的特殊情況是否是超越數。貝克透過證明形式為 alphalnbeta 的數之和的超越性，為 代數數 alpha 和 beta 帶來了進一步的突破。

e 在 1873 年被埃爾米特證明是超越數，而 pi (pi) 在 1882 年被林德曼證明是超越數。格爾豐德常數 e^pi 根據格爾豐德定理是超越數，因為

(-1)^(-i)=(e^(ipi))^(-i)=e^pi.

格爾豐德-施耐德常數 2^(sqrt(2)) 也是超越數（Hardy 和 Wright 1979, p. 162）。

已知的超越數總結在下表中，其中 sinx 是正弦函式，J_0(x) 是第一類貝塞爾函式，x_k^((n)) 是 n 階 J_k(x) 的第 n 個零點，P_1 是圖-莫爾斯常數，P_2 是通用拋物線常數，Omega_U 是 蔡廷常數，Gamma(x) 是伽瑪函式，而 zeta(n) 是黎曼 zeta 函式。

超越數參考文獻
蔡廷常數 Omega_U
Champernowne 常數
eHermite (1873)
e^(pisqrt(d)), d in Z^+Nesterenko (1999)
格爾豐德常數 e^piGelfond
格爾豐德-施耐德常數 2^(sqrt(2))Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
指數階乘倒數和 SJ. Sondow, 私人通訊，1 月 10 日，2003
Gamma(1/3)Le Lionnais (1983, p. 46)
Gamma(1/4)Chudnovsky (1984, p. 308), Waldschmidt, Nesterenko (1999)
Gamma(1/6)Chudnovsky (1984, p. 308)
Gamma(1/4)pi^(-1/4)Davis (1959)
J_0(1)Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
J_0(x) 最小根，2.4048255...Le Lionnais (1983, p. 46)
Komornik-Loreti 常數Allouche 和 Cosnard (2000)
劉維爾常數 LLiouville (1850)
ln2Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
ln3/ln2Hardy 和 Wright (1979, p. 162),
piLindemann (1882)
pi+ln2+sqrt(2)ln3Borwein et al. (1989)
Plouffe 常數 tan^(-1)(1/2)/piSmith 2003, Margolius
sin1Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
(tan^(-1)x)/pi 對於 x 有理數且 x!=0,+/-1Margolius
圖-莫爾斯常數 0.4124540336...Dekking (1977), Allouche 和 Shallit
圖常數
通用拋物線常數 sqrt(2)+ln(1+sqrt(2))

阿培裡常數 zeta(3) 已被證明是無理數，但尚不清楚它是否是超越數。pie 和 pi+e 中至少有一個（可能兩者都是）是超越數，但尚未證明任何一個數本身是超越數。尚不清楚 e^e, pi^pi, pi^e, gamma （尤拉-馬歇羅尼常數），I_0(2), 或 I_1(2) （其中 I_n(x) 是第一類修正貝塞爾函式）是否是超越數。

在超越數論中仍然存在許多基本且突出的問題，包括常數問題和沙努埃爾猜想。

雖然任何代數數都是一個代數週期，並且不是代數週期的數是超越數（Waldschmidt 2006），但在這兩個陳述之間存在“差距”，因為代數週期可能是代數數或超越數。

參見

代數數, 代數週期, 代數獨立, 代數數, 常數問題, 四個指數猜想, 指數階乘, 格爾豐德定理, 無理數, 無理數性測度, 林德曼-魏爾斯特拉斯定理, 羅斯定理, 沙努埃爾猜想, 六個指數定理 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Allouche, J. P. 和 Shallit, J. 準備中。Allouche, J.-P. 和 Cosnard, M. "Komornik-Loreti 常數是超越數。" Amer. Math. Monthly 107, 448-449, 2000.Bailey, D. H. 和 Crandall, R. E. "隨機生成器和正規數。" Exper. Math. 11, 527-546, 2002.Baker, A. "有理數對數的逼近。" Acta Arith. 10, 315-323, 1964.Baker, A. "代數數對數的線性形式 I." Mathematika 13, 204-216, 1966.Baker, A. "代數數對數的線性形式 II." Mathematika 14, 102-107, 1966.Baker, A. "代數數對數的線性形式 III." Mathematika 14, 220-228, 1966.Baker, A. "代數數對數的線性形式 IV." Mathematika 15, 204-216, 1966.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; 和 Bailey, D. H. "拉馬努金、模方程和 pi 的逼近，或如何計算 pi 的十億位數字。" Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.Chudnovsky, G. V. 超越數理論的貢獻。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1984.Courant, R. 和 Robbins, H. "代數數和超越數。" §2.6 in 什麼是數學？：思想和方法的初等方法，第二版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 103-107, 1996.Davis, P. J. "萊昂哈德·尤拉的積分：伽瑪函式的歷史概況。" Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.Dekking, F. M. "圖-莫爾斯數的超越性。" C. R. Acad. Sci. Paris 285, 157-160, 1977.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "超越數。" §3 in "數的分類：概述。" http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/classification.html.Gray, R. "格奧爾格·康托爾和超越數。" Amer. Math. Monthly 101, 819-832, 1994.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "代數數和超越數"、"超越數的存在" 和 "劉維爾定理和超越數的構造。" §11.5-11.6 in 數論導論，第五版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 159-164, 1979.Hermite, C. "關於指數函式。" C. R. Acad. Sci. Paris 77, 18-24, 74-79, 和 226-233, 1873.Le Lionnais, F. 卓越的數。 Paris: Hermann, p. 46, 1979.Lindemann, F. "關於數 pi。" Math. Ann. 20, 213-225, 1882.Liouville, J. "關於值既不是代數的，甚至不能簡化為代數無理數的非常廣泛的量類。" J. Math. pures appl. 15, 133-142, 1850.Margolius, B. H. "Plouffe 常數是超越數。" http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/plouffe.pdf.Nagell, T. 數論導論。 New York: Wiley, p. 35, 1951.Nesterenko, Yu. V. "關於線性微分方程組解的分量的代數獨立性。" Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495-512, 1974. 英文翻譯見 Math. USSR 8, 501-518, 1974.Nesterenko, Yu. V. "模函式和超越問題。" [俄語。] Mat. Sbornik 187, 65-96, 1996. 英文翻譯見 Sbornik Math. 187, 1319-1348, 1996.Nesterenko, Yu. V. 代數獨立性課程：1999 年 IHP 講座。 未出版的手稿。 1999.Pickover, C. A. "最著名的十五個超越數。" J. Recr. Math. 25, 12, 1993.Ramachandra, K. 超越數講義。 Madras, India: Ramanujan Institute, 1969.Shidlovskii, A. B. 超越數。 New York: de Gruyter, 1989.Siegel, C. L. 超越數。 New York: Chelsea, 1965.Smith, W. D. "勾股三元組、有理角和空間填充單純形。" 2003. http://math.temple.edu/~wds/homepage/diophant.pdf.Tijdeman, R. "超越數理論中的一個輔助結果。" J. Numb. Th. 5, 80-94, 1973.Waldschmidt, M. "週期的超越性：現狀。" Pure Appl. Math. Quart. 2, 435-463, 2006.

在 上被引用

超越數

請引用為

Weisstein, Eric W. "超越數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TranscendentalNumber.html

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