希爾伯特問題

希爾伯特問題是由希爾伯特提出的一系列（最初）未解決的數學問題。在印刷稿中出現的總共 23 個問題中，有 10 個實際上是在 1900 年 8 月 8 日於巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上提出的。 特別是，希爾伯特提出的問題是 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 和 22 (Derbyshire 2004, p. 377)。此外，最終的 23 個問題列表遺漏了一個關於證明論的附加問題 (Thiele 2001)。

希爾伯特問題旨在作為問題型別的示例，這些問題的解決方案將推動數學學科的發展。 因此，其中一些是研究領域，因此並非嚴格意義上的“問題”。

1. “康托爾關於連續統基數的問題。” 關於在可數集的基數和連續統的基數之間是否存在超限數的問題，哥德爾和柯恩在他們對連續統假設的解決方案中回答了這個問題，即答案取決於假定的特定版本的集合論。 關於連續統的數是否可以被認為是良序集的問題與策梅洛的選擇公理有關。 1963 年，選擇公理被證明獨立於集合論中所有其他公理。 關於這些結果是否為這個問題提供瞭解決方案，尚未達成普遍共識。

2. “算術公理的相容性。” 哥德爾第二不完備性定理表明，無法證明邏輯公理是自洽的，因為任何足夠有趣的能夠形式化自身相容性的形式系統，可以證明自身的相容性 當且僅當 它是不相容的。 關於哥德爾和根岑的結果是否提供瞭解決方案，尚未達成共識。

3. 給出兩個不能分解為全等四面體，也不能透過新增全等四面體來分解的四面體。 德恩 (Dehn) (1900, 1902) 表明，正四面體不能分解為有限數量的全等四面體（直接分解或透過連線全等四面體），然後重新組裝成一個立方體。 從這個結果立即得出結論，兩個四面體不能像希爾伯特提出的那樣分解。

4. 找到幾何，如果保留順序和關聯公理，削弱合同公理，並省略平行公設的等價物，則這些幾何的公理最接近歐幾里得幾何的公理。 這個問題由 G. Hamel 解決。

5. 對於定義連續變換群的函式，是否可以避免可微性的假設？ （這是柯西函式方程的推廣。） John von Neumann 在 1930 年為雙緊群解決了這個問題。 也為阿貝爾情況以及 1952 年的可解情況解決了這個問題，Montgomery 和 Zippin 提供了補充結果（隨後 Yamabe 在 1953 年將其合併）。 Andrew Gleason 在 1952 年表明，對於所有區域性雙緊群，答案也為“是”。

6. 物理學可以被公理化嗎？

7. 令 為代數數， 為無理數。 那麼 是超越數嗎？ 特別是，格爾豐德-施奈德常數 和格爾豐德常數 是超越數嗎 (Wells 1986, p. 45)？ 已知 對於 為無理代數數的特殊情況是超越數，正如 Aleksander Gelfond 在 1934 年證明的結果，現在被稱為格爾豐德定理 (Courant and Robins 1996)。 然而，非代數無理數 的情況尚未解決，已知的解決方案僅適用於退化構造，例如 , 。

8. 證明黎曼猜想。猜想仍然既未被證明也未被證偽。

9. 構建數論中互反律的推廣。

10. 是否存在用於求解丟番圖方程的通用演算法？ Yuri Matiyasevich 在 1970 年證明了獲得一般解是不可能的 (Matiyasevich 1970, Davis 1973, Davis and Hersh 1973, Davis 1982, Matiyasevich 1993)，他透過證明關係 （其中 是第 個斐波那契數）是丟番圖的。 更具體地說，Matiyasevich 表明存在一個多項式 ，變數為 , 和一些其他變數 , , , ... 具有屬性 當且僅當 存在整數 , , , ... 使得 。

11. 將二次域的結果推廣到任意整代數域。

12. 透過使用特殊值顯式構造希爾伯特類域，將克羅內克定理推廣到任意代數域。 這要求構造在多個變數中具有類似於指數函式和橢圓模函式性質的全純函式 (Holzapfel 1995)。

13. 證明不可能用兩個變數的函式求解一般的七次方程。

14. 證明相對整函式系統的有限性。

15. 證明 Schubert 的列舉幾何的合理性 (Bell 1945)。

16. 研究實代數曲線和曲面的拓撲結構。 有關更多詳細資訊，請參見 Gudkov 和 Utkin (1978)、Ilyashenko 和 Yakovenko (1995) 以及 Smale (2000)。

17. 找到由平方數表示定形式的方法。

18. 構建具有全等多面體的空間。

19. 分析變分問題解的解析性質。

20. 求解一般邊值問題。

21. 給定單值群求解微分方程。 更技術性地說，證明始終存在一個具有給定奇點和給定單值群的福克斯系統。 已經解決了幾個特殊情況，但 B. Bolibruch 在 1989 年找到了一個否定解 (Anasov 和 Bolibruch 1994)。

22. 單值化。

23. 推廣變分法的方法。