谷山-志村猜想

谷山-志村猜想，由於其已被證明，現在有時被稱為模性定理，是一個非常普遍和重要的猜想（現在是定理），它將拓撲學和數論聯絡起來，源於谷山在1955年國際數學研討會上提出的幾個問題。

設 是一個方程具有整數係數的橢圓曲線，設 是 的所謂的j-導子，並且對於每個 ，設 是出現在 -函式中的數字 。那麼，用專業術語來說，谷山-志村猜想指出存在一個權重為 2，水平為 的模形式，它在赫克運算元下是一個本徵形式，並且具有傅立葉級數 。

實際上，該猜想表明每個有理橢圓曲線都偽裝成一個模形式。或者，更正式地說，該猜想表明，對於每個橢圓曲線 在有理數上，存在非恆定的模函式 和 具有相同的水平 使得

等價地，對於每個橢圓曲線，都存在一個具有相同狄利克雷L-級數的模形式。

1985年，從費馬大定理的虛構解（弗雷曲線）開始，G. 弗雷表明他可以建立一個不尋常的橢圓曲線，它看起來不是模的。如果該曲線不是模的，那麼這將表明如果費馬大定理為假，那麼谷山-志村猜想也為假。此外，如果谷山-志村猜想為真，那麼費馬大定理也為真。

然而，弗雷實際上並沒有證明他的曲線不是模的。弗雷的曲線不是模的猜想被稱為“ε猜想”，並於1986年被裡貝特迅速證明（裡貝特定理），在兩個之前看起來完全不相關的數學結構（谷山-志村猜想和費馬大定理）之間建立了非常緊密的聯絡。

到 1990 年代初期，大多數數學家認為谷山-志村猜想無法證明。然而，A. 懷爾斯並非其中之一。他試圖透過證明每個集合的數量相同，來建立橢圓曲線集合和模橢圓曲線集合之間的對應關係。懷爾斯透過“計數”伽羅瓦表示並將它們與模形式的數量進行比較來完成此操作。1993 年，經過七年艱苦卓絕的努力，懷爾斯（幾乎）證明了對於稱為半穩定橢圓曲線的特殊曲線類別的谷山-志村猜想（對應於具有無平方導子的橢圓曲線；Knapp 1999）。

懷爾斯曾試圖使用水平巖澤理論來建立所謂的類數公式，但最初沒有成功，因此轉而使用了基於 Kolyvagin 思想的 Flach 結果的擴充套件。然而，在 1993 年 9 月審查懷爾斯的手稿時，發現此擴充套件存在問題。前學生理查德·泰勒在 1994 年初來到普林斯頓幫助懷爾斯修復此錯誤。經過額外的努力，懷爾斯發現了 Flach/Kolyvagin 方法失敗的原因，並發現這恰好是阻止巖澤理論工作的原因。

有了這個額外的見解，懷爾斯能夠使用巖澤理論成功地完成證明中存在錯誤的部分，從而證明了谷山-志村猜想的半穩定情況（Taylor 和 Wiles 1995，Wiles 1995），同時確立了費馬大定理為真定理。

肯尼斯·裡貝特在 1999 年 6 月 21 日的會議上宣佈了完整谷山-志村猜想的證明的存在（Knapp 1999），並於 1999 年 7 月 31 日在美國國家公共廣播電臺的週末版上報道了此事。該證明由 Breuil et al. （2001）完成，它建立在懷爾斯和泰勒的早期工作基礎上（Mackenzie 1999，Morgan 1999）。先前釋出的最佳結果適用於除以 27 整除的導子之外的所有導子（Conrad et al. 1999；Knapp 1999）。Breuil et al. 對所有橢圓曲線的普遍證明消除了此限制，在此過程中依賴於懷爾斯對有理橢圓曲線的證明。