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狄利克雷 L-級數

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狄利克雷 L-級數是形如如下形式的級數

L_k(s,chi)=sum_(n=1)^inftychi_k(n)n^(-s),
(1)

其中數論特徵 chi_k(n) 是一個週期為 k 的 整數函式，被稱為狄利克雷 L-級數。這些級數在加法數論中非常重要（例如，它們被用於證明狄利克雷定理），並且與模形式有密切的聯絡。狄利克雷 L-級數可以寫成 Lerch 超越函式的和，其中 z 是 e^(2pii/k) 的冪。

狄利克雷 L-級數在 Wolfram 語言中實現為DirichletL[k, j, s] 表示模為 k，指標為 j 的狄利克雷特徵 chi(n)。

廣義黎曼猜想推測，黎曼 zeta 函式和任何狄利克雷 L-級數都沒有實部大於 1/2 的零點。

狄利克雷 lambda 函式

lambda(s)=sum_(n=0)^(infty)1/((2n+1)^s)
(2)
=(1-2^(-s))zeta(s),
(3)

狄利克雷 beta 函式

L_(-4)(s)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n)/((2n+1)^s),
(4)
=beta(s)
(5)

和 黎曼 zeta 函式

L_(+1)(s)=zeta(s)
(6)
=sum_(n=1)^(infty)1/(n^s)
(7)

都是狄利克雷 L-級數 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 289)。

Hecke (1936) 發現了每個具有傅立葉級數的模形式與

f(tau)=c(0)+sum_(n=1)^inftyc(n)e^(2piintau)
(8)

狄利克雷 L-級數之間的顯著聯絡

phi(s)=sum_(n=1)^infty(c(n))/(n^s)
(9)

這個狄利克雷級數在 sigma=R[s]>k+1 時絕對收斂（如果 f 是尖點形式），在 sigma>2k 時收斂（如果 f 不是尖點形式）。特別地，如果係數 c(n) 滿足乘法性質

c(m)c(n)=sum_(d|(m,n))d^(2k-1)c((mn)/(d^2)),
(10)

那麼狄利克雷 L-級數將具有如下形式的表示

phi(s)=product_(p)1/(1-c(p)p^(-s)+p^(2k-1)p^(-2s)),
(11)

它與狄利克雷級數絕對收斂 (Apostol 1997, pp. 136-137)。此外，設 k>=4 為偶數整數，則 phi(s) 可以解析延拓到直線 sigma=k 之外，使得

1. 如果 c(0)=0，則 phi(s) 是 s 的整函式，

2. 如果 c(0)!=0，則 phi(s) 對所有 s 解析，除了在 s=k 處有一個簡單極點，其復殘數為

((-1)^(k/2)c(0)(2pi)^k)/(Gamma(k)),
(12)

其中 Gamma(k) 是伽瑪函式，並且

3. phi(s) 滿足

(2pi)^(-s)Gamma(s)phi(s)=(-1)^(k/2)(2pi)^(s-k)Gamma(k-s)phi(k-s)
(13)

(Apostol 1997, p. 137)。

數論特徵 chi_k 被稱為本原的，如果 j-導子 f(chi)=k。否則，chi_k 是非本原的。本原 L-級數模 k 被定義為 chi_k(n) 是本原的級數。所有非本原 L-級數都可以用本原 L-級數表示。

設 P=1 或 P=product_(i=1)^(t)p_i，其中 p_i 是不同的奇素數。那麼有三種可能的具有實係數的本原 L-級數型別。實係數的要求將數論特徵限制為對於所有 k 和 n，chi_k(n)=+/-1。這三種類型是：

1. 如果 k=P（例如，k=1, 3, 5, ...）或 k=4P（例如，k=4, 12, 20, ...），則恰好存在一個本原 L-級數。

2. 如果 k=8P（例如，k=8, 24, ...），則存在兩個本原 L-級數。

3. 如果 k=2P,Pp_i，或 2^alphaP 其中 alpha>3（例如，k=2, 6, 9, ...），則不存在本原 L-級數。

(Zucker 和 Robertson 1976)。所有本原 L-級數都是代數獨立的，並且根據以下條件分為兩種型別：

chi_k(k-1)=+/-1.
(14)

這些型別的本原 L-級數表示為 L_+/-。對於具有實數論特徵的本原 L-級數，如果 k=P，則

L_k={L_(-k) if P=3 (mod 4); L_k if P=1 (mod 4).
(15)

如果 k=4P，則

L_k={L_(-k) if P=1 (mod 4); L_k if P=3 (mod 4),
(16)

並且如果 k=8P，則每種型別都存在一個本原函式 (Zucker 和 Robertson 1976)。

前幾個本原負 L-級數是 L_(-3), L_(-4), L_(-7), L_(-8), L_(-11), L_(-15), L_(-19), L_(-20), L_(-23), L_(-24), L_(-31), L_(-35), L_(-39), L_(-40), L_(-43), L_(-47), L_(-51), L_(-52), L_(-55), L_(-56), L_(-59), L_(-67), L_(-68), L_(-71), L_(-79), L_(-83), L_(-84), L_(-87), L_(-88), L_(-91), L_(-95), ... (OEIS A003657)，對應於虛二次域判別式的負值。前幾個本原正 L-級數是 L_(+1), L_(+5), L_(+8), L_(+12), L_(+13), L_(+17), L_(+21), L_(+24), L_(+28), L_(+29), L_(+33), L_(+37), L_(+40), L_(+41), L_(+44), L_(+53), L_(+56), L_(+57), L_(+60), L_(+61), L_(+65), L_(+69), L_(+73), L_(+76), L_(+77), L_(+85), L_(+88), L_(+89), L_(+92), L_(+93), L_(+97), ... (OEIS A003658)。

克羅內克符號 (d/n) 是模 d 的實數論特徵，並且實際上是模 d 的唯一型別的實本原數論特徵 (Ayoub 1963)。因此，

L_d(s)=sum_(n=1)^infty(d/n)n^(-s)
(17)

其中 (d/n) 是克羅內克符號 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 293)。

對於 d 的本原值，克羅內克符號以 |d| 為週期，因此 L_d(s) 可以寫成 |d|-1 個和的形式，每個和都可以用多伽瑪函式 psi_n(z) 表示，得到

L_d(s)=1/((-|d|)^s(s-1)!)sum_(n=1)^(|d|-1)(d/n)psi_(s-1)(n/(|d|)).
(18)

L_+/- 的函式方程為

L_(-d)(s)=2^spi^(s-1)d^(-s+1/2)Gamma(1-s)cos(1/2spi)L_(-d)(1-s)
(19)
L_(+d)(s)=2^spi^(s-1)d^(-s+1/2)Gamma(1-s)sin(1/2spi)L_(+d)(1-s)
(20)

(Borwein 和 Borwein 1986, p. 303)。

對於正整數 m

L_(+d)(-2m)=0
(21)
L_(-d)(1-2m)=0
(22)
L_(+d)(2m)=Rk^(-1/2)pi^(2m)
(23)
L_(-d)(2m-1)=R^'k^(-1/2)pi^(2m-1)
(24)
L_(+d)(1-2m)=((-1)^m(2m-1)!R)/((2k)^(2m-1))
(25)
L_(-d)(-2k)=((-1)^mR^'(2m)!)/((2k)^(2m)),
(26)

其中 R 和 R^' 是有理數。關於 L_(-d)(2m) 或 L_(+d)(2m-1) 似乎沒有什麼普遍已知的結果，儘管有可能用已知的超越數表示所有 L_+/-(1) (Zucker 和 Robertson 1976)。

L_(+d)(1) 可以用超越數表示為

L_d(1)=h(d)kappa(d),
(27)

其中 h(d) 是類數，kappa(d) 是狄利克雷結構常數。

關於用已知超越數表示 L_(-d)(2m) 和 L_(+d)(2m-1) 還沒有已知的通用形式。Edwards (2000) 給出了 L_d(1) 的幾個特殊情況的例子。一些本原級數 L_d(1) 由下式給出

L_(-20)(1)=pi/(sqrt(5))
(28)
L_(-15)(1)=(2pi)/(sqrt(15))
(29)
L_(-11)(1)=pi/(sqrt(11))
(30)
L_(-8)(1)=pi/(2sqrt(2))
(31)
L_(-7)(1)=pi/(sqrt(7))
(32)
L_(-4)(1)=1/4pi
(33)
L_(-3)(1)=1/9pisqrt(3)
(34)
L_(+5)(1)=2/5sqrt(5)lnphi
(35)
L_(+8)(1)=(ln(1+sqrt(2)))/(sqrt(2))
(36)
L_(+12)(1)=(ln(2+sqrt(3)))/(sqrt(3))
(37)
L_(+13)(1)=2/(sqrt(13))ln((3+sqrt(13))/2)
(38)
L_(+17)(1)=2/(sqrt(17))ln(4+sqrt(17))
(39)
L_(+21)(1)=2/(sqrt(21))ln((5+sqrt(21))/2)
(40)
L_(+24)(1)=(ln(5+2sqrt(6)))/(sqrt(6)),
(41)

而對於 L_k(2) 由下式給出

L_(-8)(2)=1/(64)[psi_1(1/8)+psi_1(3/8)-psi_1(5/8)-psi_1(7/8)]
(42)
L_(-7)(2)=1/(49)[psi_1(1/7)+psi_1(2/7)-psi_1(3/7)+psi_1(4/7)
(43)
L_(-4)(2)=K
(44)
L_(-3)(2)=1/9[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]
(45)
L_(+1)(2)=1/6pi^2
(46)
L_(+5)(2)=4/(125)pi^2sqrt(5)
(47)
L_(+8)(2)=1/(16)pi^2sqrt(2)
(48)
L_(+12)(2)=1/(18)pi^2sqrt(3)
(49)
L_(+13)(2)=(4pi^2)/(13sqrt(13))
(50)
L_(+17)(2)=(8pi^2)/(17sqrt(17))
(51)
L_(+21)(2)=(8pi^2)/(21sqrt(21)),
(52)

其中 K 是卡塔蘭常數，psi_1(z) 是三伽瑪函式，Li_2(z) 是雙對數函式。

Bailey 和 Borwein (Bailey 和 Borwein 2005; Bailey 等人 2006a, pp. 5 和 62; Bailey 等人 2006b; Bailey 和 Borwein 2008; Coffey 2008) 推測了這個關係，實際上 Zagier (1986) 在大約二十年前就已證明 (M. Coffey, 私人通訊, 3月 30日, 2009)，即 L_(-7)(2) 也由下式給出

I_7=(24)/(7sqrt(7))int_(pi/3)^(pi/2)ln|(tanx+sqrt(7))/(tanx-sqrt(7))|dx
(53)
=-4/(7sqrt(7)){9ln2cot^(-1)sqrt(7)+(pi-6cot^(-1)sqrt(7))×ln(sqrt(7)-sqrt(3))-piln(sqrt(3)+sqrt(7))+3i[Li_2((sqrt(7)-sqrt(3))/(sqrt(7)-i))-Li_2((sqrt(7)-sqrt(3))/(sqrt(7)+i))-Li_2((sqrt(7)-i)/(sqrt(3)+sqrt(7)))+Li_2((sqrt(7)+i)/(sqrt(3)+sqrt(7)))]}
(54)
=(24)/(7sqrt(7)){Cl_2(theta_+)+1/2[Cl_2(2omega_+)-Cl_2(2omega_++2theta_+)]}
(55)
=4/(7sqrt(7))[3Cl_2(theta_7)-3Cl_2(2theta_7)+Cl_2(3theta_7)]
(56)
=1.1519254705...
(57)

其中後者的表示式歸功於 Coffey (2008ab)，其中

omega_+=tan^(-1)(sqrt(7))-(2pi)/3
(58)
omega_-=-omega_+
(59)
=tan^(-1)((2sqrt(3)-sqrt(7))/5)
(60)
theta_+=tan^(-1)(1/3sqrt(7))
(61)
theta_7=2tan^(-1)(sqrt(7)).
(62)

另請參閱

狄利克雷 Beta 函式, 狄利克雷 Eta 函式, 狄利克雷級數, 雙重級數, 廣義黎曼猜想, Hecke L-級數, 模形式, 彼得松猜想

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參考文獻

Apostol, T. M. 解析數論導論。 New York: Springer-Verlag, 1976.Apostol, T. M. "模形式與狄利克雷級數" 和 "普通狄利克雷級數的等價性。" §6.16 和 §8.8 in 數論中的模函式與狄利克雷級數，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 136-137 和 174-176, 1997.Ayoub, R. G. 解析數論導論。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963.Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "實驗數學：例子、方法與意義。" Not. Amer. Math. Soc. 52, 502-514, 2005.Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "計算機輔助發現與證明。" In 實驗數學的論文集 (Ed. T. Amdeberhan and V. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. 行動中的實驗數學。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 222, 2006a. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema.pdf.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "實驗數學中的十個問題。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006b.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi 與 AGM：解析數論與計算複雜性研究。 New York: Wiley, 1987.Buell, D. A. "二次域的 L 函式的小類數和極值。" Math. Comput. 139, 786-796, 1977.Coffey, M. W. "量子場論中出現的 ln tan 積分的計算。" J. Math. Phys. 49, 093508-1-15, 2008a.Coffey, M. W. "量子場論中出現的 ln tan 積分的另一種計算方法。" Nov. 15, 2008b. http://arxiv.org/abs/0810.5077.Edwards, H. M. 費馬大定理：代數數論的遺傳學導論。 New York: Springer-Verlag, 2000.Hecke, E. "關於透過函式方程確定狄利克雷級數。" Math. Ann. 112, 664-699, 1936.Ireland, K. and Rosen, M. "狄利克雷 L-函式。" Ch. 16 in 現代數論經典導論，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 249-268, 1990.Koch, H. "L-級數。" Ch. 7 in 數論：代數數與函式。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 203-258, 2000.Shanks, D. and Wrench, J. W. Jr. "某些狄利克雷級數的計算。" Math. Comput. 17, 135-154, 1963.Shanks, D. and Wrench, J. W. Jr. "“某些狄利克雷級數的計算”的勘誤。" Math. Comput. 17, 488, 1963.Sloane, N. J. A. Sequences A003657/M2332, A003658/M3776, and A103133 in "整數數列線上大全。"Tyagi, S. "黎曼 Zeta 函式、Lerch 函式和狄利克雷 L 函式的雙指數方法。" https://arxiv.org/abs/2203.02509. 7 Mar 2022.Zagier, D. "雙曲流形與 Dedek金 zeta 函式的特殊值。" Invent. Math. 83, 285-301, 1986.Zucker, I. J. and Robertson, M. M. "狄利克雷 L-級數的一些性質。" J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1207-1214, 1976.

在 中被引用

狄利克雷 L-級數

請引用為

Weisstein, Eric W. “狄利克雷 L-級數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DirichletL-Series.html

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