二重級數

二重和是一個級數，其項取決於兩個索引，

(1)

有限二重級數可以寫成級數的乘積

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無限二重級數可以用單級數表示

(6)

透過如下重新排序，

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存在許多簡單的二重級數無法解析計算的例子，例如 Erdős-Borwein 常數

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(OEIS A065442)，其中是一個 q-多伽瑪函式。

另一個級數是

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(OEIS A091349)，其中是一個調和數，而是單位根的立方根。

一個可以解析完成的二重級數由下式給出

(16)

其中是 Riemann zeta 函式 zeta(2) (B. Cloitre, 私人通訊，12 月 9 日，2004 年)。

二重級數

(17)

可以透過交換和並取平均值來計算，

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(Borwein et al. 2004, p. 54)。

涉及二重和的恆等式包括以下內容

(22)

其中

$|_r/2_|={1/2r r even; 1/2(r-1) r odd$

(23)

是向下取整函式，以及

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考慮級數

(25)

在二元二次型上，其中素數表示對所有和的對求和，但不包括項。如果可以分解為 Dirichlet L-級數乘積的線性和，則稱其為可解的。相關的和

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也可以定義，這產生了令人印象深刻的公式，例如

(29)

(Glasser 和 Zucker 1980)。Glasser 和 Zucker（1980，pp. 126-131）給出了所有可解的主要解的完整表格。

格和可以分成兩部分，

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其中是 Dirichlet eta 函式。使用格和的解析形式

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其中是 Dirichlet beta 函式，給出了和

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Borwein 和 Borwein（1987，p. 291）表明，對於 ,

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其中是 Riemann zeta 函式，對於適當的 ,

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(Borwein 和 Borwein 1987, p. 305)。

另一個二重級數約簡由下式給出

(46)

其中表示任何函式 (Glasser 1974)。

另請參閱

Euler Sum，格和，馬德隆常數，多重級數，多元 Zeta 函式，級數，三重級數， Weierstrass 二重級數定理

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Glasser, M. L. "Reduction Formulas for Multiple Series." Math. Comput. 28, 265-266, 1974.Glasser, M. L. 和 Zucker, I. J. "Lattice Sums." In Perspectives in Theoretical Chemistry: Advances and Perspectives, Vol. 5 (Ed. H. Eyring). New York: Academic Press, pp. 67-139, 1980.Hardy, G. H. "On the Convergence of Certain Multiple Series." Proc. London Math. Soc. 2, 24-28, 1904.Hardy, G. H. "On the Convergence of Certain Multiple Series." Proc. Cambridge Math. Soc. 19, 86-95, 1917.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "Double Series." §1.053 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 16-17, 1988.Meyer, B. "On the Convergence of Alternating Double Series." Amer. Math. Monthly 60, 402-404, 1953.Móricz, F. "Some Remarks on the Notion of Regular Convergence of Multiple Series." Acta Math. Hungar. 41, 161-168, 1983.Sloane, N. J. A. Sequences A065442 和 A091349 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wilansky, A. "On the Convergence of Double Series." Bull. Amer. Math. Soc. 53, 793-799, 1947.Zucker, I. J. 和 Robertson, M. M. "Some Properties of Dirichlet