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多元 Zeta 函式

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多元 zeta 函式，也稱為多重 zeta 值、多元 zeta 常數 (Bailey 等人，2006，第 43 頁)、多 zeta 值 (Bailey 等人，2006，第 17 頁) 以及多元 zeta 值，定義為

zeta(s_1,...,s_k; sigma_1,...,sigma_k)=sum_(n_1>n_2>...>n_k>0)product_(j=1)^k(sigma_j^(n_j))/(n_j^(s_j))
(1)

(Broadhurst 1996, 1998)。這可以寫成更緊湊和方便的形式

zeta(a_1,...,a_k)=sum_(n_1>n_2>...>n_k>0)product_(j=1)^k([sgn(a_j)]^(n_j))/(n_j^(|a_j|)) =sum_(n_1>n_2>...>n_k>0)([sgn(a_1)]^(n_1)[sgn(a_2)]^(n_2)...[sgn(a_k)]^(n_k))/(n_1^(|a_1|)n_2^(|a_2|)...|n_k|^(|a_k|)).
(2)

(Broadhurst 1996；Bailey 等人，2007，第 38 頁)。

符號 a^__k (與 -a_k 相對) 有時也用於表示分子中的因子 1 被相應的因子 (-1)^(n_k) 替換。此外，符號 U(s,t)=zeta(-t,s) 在量子場論中使用。

特別是，對於 k=2，這些對應於通常的尤拉和

zeta(s,t)=sigma_h(t,s)
(3)
zeta(-s,t)=alpha(t,s)
(4)
zeta(s,-t)=-sigma_a(t,s)
(5)
zeta(-s,-t)=-alpha_a(t,s)
(6)

(Broadhurst 1996)。

多元 zeta 函式 (及其導數) 也出現在涉及對數餘弦函式的定積分的閉式求值中 (Oloa 2011)。

這些和滿足

zeta(a,b)+zeta(b,a)=zeta(a)zeta(b)-zeta(a+b)
(7)

對於 a,b>1，以及

sum_(suma_i=n; a_i>=0)zeta(a_1+2,a_2+1,...,a_r+1)=zeta(n+r+1)
(8)

對於非負整數 n 和 r (Bailey 等人，2007)。這些給出了特殊情況

zeta(3)=zeta(2,1)
(9)
zeta(4)=zeta(3,1)+zeta(2,2)
(10)
zeta(2,1,1)=zeta(4)
(11)

(Bailey 等人，2007)。

另一種特殊情況由下式給出

zeta(3,1_()_(n))=(2pi^(4n))/((4n+2)!)
(12)

(Borwein 和 Bailey 2003，第 26 頁；Borwein 等人，2004，第 2 章，例 29)。

其他特殊值包括

zeta(-3,-1)=-1/(12)(ln2)^4+1/2zeta(4)+1/2zeta(2)(ln2)^2-2Li_4(1/2)
(13)
zeta(-2,-1)=3/2zeta(2)ln2-(13)/8zeta(3)
(14)
zeta(-2,1)=1/8zeta(3)
(15)
zeta(2,-1)=zeta(3)-3/2zeta(2)ln2
(16)
zeta(2,1)=zeta(3)
(17)
zeta(2,1,1)=zeta(4)
(18)
zeta(3,1)=1/(360)pi^4
(19)

(Bailey 等人，2007，第 223 和 251 頁)。對於所有 zeta(a_1,...,a_k) 且 sum_(k)|a_k|<8 的情況，已知閉式解 (Bailey 等人，2006，第 39 頁)。

令人驚訝的是，

zeta(2,1_()_(n))=8^nzeta(-2,1_()_(n)),
(20)

由 J. Borwein 和 D. Broadhurst 於 1996 年發現 (Bailey 等人，2006，第 17 頁)。

另請參閱

尤拉和, 對數正弦函式, 多重級數, 四面體真空費曼圖

使用 探索

參考文獻

Akiyama, S.; Egami, S.; and Tanigawa, Y. "多重 Zeta 函式的解析延拓及其在非正整數處的值。" Acta Arith. 98, 107-116, 2001.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "多元 Zeta 常數的計算。" §2.5 in 行動中的實驗數學。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 43 and 223-224, 2007.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "實驗數學中的十個問題。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Borwein, J. and Bailey, D. "量子場論。" §2.6 in 實驗數學：21世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 58-59, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Ch. 3 in 數學實驗：通往發現的計算路徑。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; and Lisonek, P. "多維多對數函式的特殊值。" Trans. Amer. Math. Soc. 353, 907-941, 2001.Broadhurst, D. J. "關於不可約 k 重尤拉和的列舉及其在紐結理論和場論中的作用。" 1996 年 4 月 22 日。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9604128Broadhurst, D. J. "可約化為單位根六次代數的 SC^* 原語的大質量 3 環費曼圖。" 1998 年 3 月 11 日。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9803091.Oloa, O. "涉及 MZV 導數的對數餘弦積分。" 預印本。 2011 年 4 月 18 日。

在 上被引用

多元 Zeta 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "多元 Zeta 函式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/MultivariateZetaFunction.html

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