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格和

立方格和包括以下內容

b_2(2s)=sum^'_(i,j=-infty)^infty((-1)^(i+j))/((i^2+j^2)^s)
(1)
b_3(2s)=sum^'_(i,j,k=-infty)^infty((-1)^(i+j+k))/((i^2+j^2+k^2)^s)
(2)
b_n(2s)=sum^'_(k_1,...,k_n=-infty)^infty((-1)^(k_1+...+k_n))/((k_1^2+...+k_n^2)^s),
(3)

其中撇號表示求和時排除了原點 (0,0), (0,0,0), 等 (Borwein 和 Borwein 1986, p. 288)。

這些對於偶數 n 有閉合形式，

b_2(2s)=-4beta(s)eta(s)
(4)
b_4(2s)=-8eta(s)eta(s-1)
(5)
b_6(2s)=4beta(s-2)eta(s)-16beta(s)eta(s-2)
(6)
b_8(2s)=-16zeta(s)eta(s-3)
(7)

對於 R[s]>1，其中 beta(z) 是 狄利克雷 beta 函式，eta(z) 是 狄利克雷 eta 函式，並且 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式 (Zucker 1974, Borwein 和 Borwein 1987, pp. 288-301)。在 s=1 處評估的格和被稱為 馬德隆常數。 b_2(2s) 的另一種形式由下式給出

b_2(2s)=sum_(n=1)^infty((-1)^nr_2(n))/(n^s)
(8)

對於 R[s]>1/3，其中 r_2(n) 是平方和函式，即 n 表示為兩個平方數的表示數 (Borwein 和 Borwein 1986, p. 291)。 Borwein 和 Borwein (1986) 證明 b_8(2) 收斂（上面 b_8(2s) 的閉合形式不適用於 s=1），但其值尚未計算。許多其他相關的雙重級數可以進行解析評估。

對於六邊形和，Borwein 和 Borwein (1987, p. 292) 給出

h_2(2s)=4/3sum_(m,n=-infty)^infty(sin[(n+1)theta]sin[(m+1)theta]-sin(ntheta)sin[(m-1)theta])/([(n+1/2m)^2+3(1/2m)^2]^s),
(9)

其中 theta=2pi/3。這個 馬德隆常數 可以表示為 s=1 的閉合形式為

h_2(2)=piln3sqrt(3).
(10)

其他有趣的解析格和由下式給出

sum_(k,m,n=-infty)^infty((-1)^(k+m+n))/([(k+1/6)^2+(m+1/6)^2+(n+1/6)^2]^s) =12^sbeta(2s-1),
(11)

給出特殊情況

sum_(k,m,n=-infty)^infty((-1)^(k+m+n))/([(k+1/6)^2+(m+1/6)^2+(n+1/6)^2]^(1/2))=sqrt(3)
(12)

(Borwein 和 Borwein 1986, p. 303)，以及

sum^'_(k,m,n=-infty)^infty((-1)^(k+m+n+1))/((|k|+|m|+|n)^s)=2eta(s)+4eta(s-2)
(13)

(Borwein 和 Borwein 1986, p. 305)。

另請參閱

Benson 公式, 雙重級數, 愛潑斯坦 Zeta 函式, Grenz-Formel, 馬德隆常數

使用 探索

參考文獻

Borwein, D. and Borwein, J. M. "A Note on Alternating Series in Several Dimensions." Amer. Math. Monthly 93, 531-539, 1986.Borwein, D. and Borwein, J. M. "On Some Trigonometric and Exponential Lattice Sums." J. Math. Anal. 188, 209-218, 1994.Borwein, D.; Borwein, J. M.; and Shail, R. "Analysis of Certain Lattice Sums." J. Math. Anal. 143, 126-137, 1989.Borwein, D.; Borwein, J. M.; and Taylor, K. F. "Convergence of Lattice Sums and Madelung's Constant." J. Math. Phys. 26, 2999-3009, 1985.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Finch, S. R. "Madelung's Constant." §1.10 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 76-81, 2003.Glasser, M. L. and Zucker, I. J. "Lattice Sums." In Perspectives in Theoretical Chemistry: Advances and Perspectives, Vol. 5 (Ed. H. Eyring).Zucker, I. J. "Exact Results for Some Lattice Sums in 2, 4, 6 and 8 Dimensions." J. Phys. A: Nucl. Gen. 7, 1568-1575, 1974.

在 中引用

格和

引用為

Weisstein, Eric W. "格和。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LatticeSum.html

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