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狄利克雷 Beta 函式

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狄利克雷 beta 函式由以下求和定義

beta(x)=sum_(n=0)^(infty)(-1)^n(2n+1)^(-x)
(1)
=2^(-x)Phi(-1,x,1/2),
(2)

其中 Phi(z,s,a) 是 Lerch 超越函式。beta 函式可以用 Hurwitz zeta 函式 zeta(x,a) 表示為

beta(x)=1/(4^x)[zeta(x,1/4)-zeta(x,3/4)].
(3)

beta 函式可以使用解析延拓在整個複平面上定義，

beta(1-z)=(2/pi)^zsin(1/2piz)Gamma(z)beta(z),
(4)

其中 Gamma(z) 是 gamma 函式。

狄利克雷 beta 函式在 Wolfram 語言中實現為DirichletBeta[x].

beta 函式可以直接評估特殊形式的引數，如

beta(-2k)=1/2E_(2k)
(5)
beta(-2k-1)=0
(6)
beta(2k+1)=((-1)^kE_(2k))/(2(2k)!)(1/2pi)^(2k+1),
(7)

其中 E_n 是尤拉數。

的特定值包括

beta(1)=1/4pi
(8)
beta(2)=K
(9)
beta(3)=1/(32)pi^3
(10)
beta(4)=1/(768)[psi_3(1/4)-8pi^4],
(11)

其中 K 是 Catalan 常數，psi_n(x) 是多伽瑪函式。對於 n=1, 3, 5, ..., beta(n)=rpi^n, 其中倍數是 1/4, 1/32, 5/1536, 61/184320, ... (OEIS A046976 和 A053005)。

它涉及以下積分

int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1+x^2y^2)dxdy=Gamma(s+2)beta(s+2)
(12)

(Guillera 和 Sondow 2005)。

Rivoal 和 Zudilin (2003) 證明了至少七個數字 beta(2), beta(4), beta(6), beta(8), beta(10), beta(12), 和 beta(14) 中有一個是無理數。

導數 beta^'(x)|_(x=n) 也可以在許多整數值 n 上進行解析計算，包括

beta^'(-1)=(2K)/pi
(13)
=0.583121808...
(14)
beta^'(0)=ln[(Gamma^2(1/4))/(2pisqrt(2))]
(15)
=0.391594392...
(16)
beta^'(1)=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1)ln(2n+1))/((2n+1))
(17)
=1/4pi{gamma+2ln2+3lnpi-4ln[Gamma(1/4)]}
(18)
=0.192901316...
(19)

(OEIS A133922, A113847, 和 A078127)，其中 K 是 Catalan 常數，Gamma(z) 是 gamma 函式，gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數。

一個涉及 beta^'(n) 的漂亮求和由下式給出

sum_(k=1)^inftyln[((4k+1)^(1/(4k+1)^n))/((4k-1)^(1/(4k-1)^n))]=-beta^'(n)
(20)

對於正整數 n。

另請參閱

Catalan 常數, 狄利克雷 Eta 函式, 狄利克雷 Lambda 函式, Hurwitz Zeta 函式, Legendre's Chi 函式, Lerch 超越函式, 黎曼 Zeta 函式, Sierpiński 常數, Zeta 函式

使用 探索

參考資料

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 807-808, 1972.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: 解析數論和計算複雜性研究。 New York: Wiley, p. 384, 1987.Comtet, L. 問題 37，高階組合數學：有限和無限展開的藝術，修訂和擴充版。 Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 89, 1974.Guillera, J. 和 Sondow, J. "雙重積分和無限乘積，用於透過 Lerch 超越函式的解析延拓獲得一些經典常數。" 2005 年 6 月 16 日 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Rivoal, T. 和 Zudilin, W. "與 Catalan 常數相關的數字的丟番圖性質。" Math. Ann. 326, 705-721, 2003. http://www.mi.uni-koeln.de/~wzudilin/beta.pdf.Sloane, N. J. A. 序列 A046976, A053005, A078127, A113847, 和 A133922 在 "整數序列線上百科全書" 中。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "Zeta 數和相關函式。" Ch. 3 在 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 25-33, 1987.Mathews, J. 和 Walker, R. L. 物理學的數學方法，第二版。 Reading, MA: W. A. Benjamin/Addison-Wesley, p. 57, 1970.

在 上引用

狄利克雷 Beta 函式

引用為

Weisstein, Eric W. “狄利克雷 Beta 函式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/DirichletBetaFunction.html

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