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赫爾維茨 Zeta 函式

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赫爾維茨 zeta 函式 zeta(s,a) 是 黎曼 zeta 函式 zeta(s) 的推廣，也稱為廣義 zeta 函式。它經典地由 公式 定義

zeta(s,a)=sum_(k=0)^infty1/((k+a)^s)
(1)

對於 R[s]>1，並透過 解析延拓 到其他 s!=1，其中任何包含 k+a=0 的項都被排除在外。它在 Wolfram 語言 中以以下形式實現HurwitzZeta[s, a].

稍微不同的形式

zeta^*(s,a)=sum_(k=0)^infty1/([(a+k)^2]^(s/2))
(2)

在 Wolfram 語言 中實現為Zeta[s, a]. 注意，只有當 R[a]>0 時，兩者才相同。

HurwitzZetaFunction

上面的圖顯示了實數 zeta(s,a) 對於實數 s 和 a 的情況，其中黑色表示零等高線。

對於 a>-1，zeta(s,a) 的全域性收斂級數（對於固定的 a，給出了 zeta(s,a) 到整個複數 s 平面的 解析延拓，除了點 s=1）由下式給出

zeta(s,a)=1/(s-1)sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)(a+k)^(1-s)
(3)

（Hasse 1930）。

赫爾維茨 zeta 函式在 Wolfram 語言 中實現為Zeta[s, a].

對於 a=1，zeta(s,a) 簡化為 黎曼 zeta 函式 zeta(s)，

zeta(s,1)=zeta(s).
(4)

如果從 zeta(s,a) 的求和定義中排除奇異項，則 zeta(s,0)=zeta(s) 也成立。

赫爾維茨 zeta 函式由積分給出

zeta(s,a)=1/(Gamma(s))int_0^infty(t^(s-1)dt)/(e^(at)(1-e^(-t)))
(5)

對於 R[s]>1 和 R[a]>0。

HurwitzZetaZeros

上面的圖說明了 zeta(s,a) 的復零點（Trott 1999），其中 s=x+iy。這裡，複數 s 平面是水平的，而實數 a 線是垂直的，範圍從底部的 a=1/2 到頂部的 a=1。上方的線是 臨界線 R[s]=1/2，其中包含 zeta(s)=zeta(s,1) 的零點。下方兩條線是 R[s]=0 和 R[s]=1/2（再次），其中包含 2^s-1 和 zeta(s) 的零點，分別是因為 zeta(s,1/2)=(2^s-1)zeta(s)；參見下面的公式 (9)。

該圖也出現在《FOCUS》雜誌 2004 年 3 月刊的封面上，該雜誌是美國數學協會的新聞雜誌。

赫爾維茨 zeta 函式也可以由函式方程給出

zeta(s,p/q)=2Gamma(1-s)(2piq)^(s-1)sum_(n=1)^qsin((pis)/2+(2pinp)/q)zeta(1-s,n/q)
(6)

（Apostol 1995，Miller 和 Adamchik 1999），或積分

zeta(s,a)=1/2a^(-s)+(a^(1-s))/(s-1)+2int_0^infty(a^2+y^2)^(-s/2){sin[stan^(-1)(y/a)]}(dy)/(e^(2piy)-1).
(7)

如果 R[z]<0 且 0<a<=1，則

zeta(z,a)=(2Gamma(1-z))/((2pi)^(1-z))[sin((piz)/2)sum_(n=1)^infty(cos(2pian))/(n^(1-z))+cos((piz)/2)sum_(n=1)^infty(sin(2pian))/(n^(1-z))]
(8)

（Hurwitz 1882；Whittaker 和 Watson 1990，第 268-269 頁）。

赫爾維茨 zeta 函式滿足

zeta(-n,a)=-(B_(n+1)(a))/(n+1)
(9)

對於 n>=0 （Apostol 1995，第 264 頁），其中 B_k(a) 是 伯努利多項式，給出特殊情況

zeta(0,a)=1/2-a.
(10)

此外，

zeta(s,1/2)=sum_(k=0)^(infty)(k+1/2)^(-s)
(11)
=2^ssum_(k=0)^(infty)(2k+1)^(-s)
(12)
=2^s[zeta(s)-sum_(k=1)^(infty)(2k)^(-s)]
(13)
=2^s(1-2^(-s))zeta(s)
(14)
=(2^s-1)zeta(s).
(15)

導數恆等式包括

d/(ds)zeta(0,a)=ln[Gamma(a)]-1/2ln(2pi)
(16)
d/(ds)zeta(0,0)=-1/2ln(2pi),
(17)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式（Baileyet al. 2006，第 179 頁）。定義 (1) 意味著

d/(da)zeta(s,a)=-szeta(s+1,a)
(18)

對於 s!=0,1。

在極限情況下，

lim_(s->1)[zeta(s,a)-1/(s-1)]=-psi_0(a)
(19)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 271 頁；Allouche 1992），其中 psi_0(z) 是 雙伽瑪函式。

多伽瑪函式 psi_m(z) 可以用赫爾維茨 zeta 函式表示為

psi_m(z)=(-1)^(m+1)m!zeta(1+m,z).
(20)

對於 正整數 k、p 和 q>p，

zeta^'(-2k+1,p/q)=([psi(2k)-ln(2piq)]B_(2k)(p/q))/(2k)-([psi(2k)-ln(2pi)]B_(2k))/(q^(2k)2k)+((-1)^(k+1)pi)/((2piq)^(2k))sum_(n=1)^(q-1)sin((2pipn)/q)psi_((2k-1))(n/q)+((-1)^(k+1)2(2k-1)!)/((2piq)^(2k))sum_(n=1)^(q-1)cos((2pipn)/q)zeta^'(2k,n/q)+(zeta^'(-2k+1))/(q^(2k)),
(21)

其中 B_n 是 伯努利數，B_n(x) 是 伯努利多項式，psi_n(z) 是 多伽瑪函式，zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式（Miller 和 Adamchik 1999）。Miller 和 Adamchik (1999) 還給出了閉合形式的表示式（其中下面表示式中已更正了大量印刷錯誤）

zeta^'(1-2k,1/2)=-(B_(2k)ln2)/(4^kk)-((2^(2k-1)-1)zeta^'(-2k+1))/(2^(2k-1))
(22)
zeta^'(1-2k,1/3; 2/3)=∓(sqrt(3)(9^k-1)B_(2k)pi)/(8k·9^k)-(3B_(2k)ln3)/(4k·9^k)∓((-1)^kpsi_(2k-1)(1/3))/(2sqrt(3)(6pi)^(2k-1))-((9^k-3)zeta^'(1-2k))/(2·9^k)
(23)
zeta^'(1-2k,1/4; 3/4)=∓((4^k-1)B_(2k)pi)/(4^(k+1)k)+((4^(k-1)-1)B_(2k)ln2)/(k·2^(4k-1))∓((-1)^kpsi_(2k-1)(1/4))/(4(8pi)^(2k-1))-((4^k-2)zeta^'(1-2k))/(2^(4k))
(24)
zeta^'(1-2k,1/6; 5/6)=∓((9^k-1)(2^(2k-1)+1)B_(2k)pi)/(8sqrt(3)k·6^(2k-1))+(B_(2k)(3^(2k-1)-1)ln2)/(4k·6^(2k-1))+(B_(2k)(2^(2k-1)-1)ln3)/(4k·6^(2k-1))∓((-1)^k(2^(2k-1)+1)psi_(2k-1)(1/3))/(2sqrt(3)(12pi)^(2k-1))+((2^(2k-1)-1)(3^(2k-1)-1)zeta^'(1-2k))/(2·6^(2k-1)),
(25)

其中 zeta^'(z_0,a) 表示 dzeta(z,a)/dz|_(z=z_0)，zeta^'(z_0) 表示 dzeta(z)/dz|_(z=z_0)，並且等式左側的上下分數分別對應於右側的正負號。

另請參閱

赫爾維茨公式、辛欽常數、多伽瑪函式、QRS 常數、黎曼 Zeta 函式、Zeta 函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/

本條目的部分內容由 Jonathan Sondow 貢獻 (作者連結)

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參考文獻

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在 上引用

赫爾維茨 Zeta 函式

請引用為

Jonathan Sondow 和 Eric W. Weisstein。“赫爾維茨 Zeta 函式。” 來自 Web 資源。https://mathworld.tw/HurwitzZetaFunction.html

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