主題
Search

伯努利多項式

下載 Mathematica 筆記本下載 Wolfram 筆記本
BernoulliPolynomials

伯努利多項式有兩種常用定義。此處用 B_n(x) 表示第 n 個伯努利多項式（Abramowitz 和 Stegun 1972），B_n^*(x)（或有時為 phi_n(x)）表示伯努利多項式的古老形式。當在零處求值時，這些定義對應於伯努利數，

B_n=B_n(0)
(1)
B_n^*=B_n^*(0).
(2)

伯努利多項式是一個 Appell 序列，其中

g(t)=(e^t-1)/t
(3)

（Roman 1984，第 31 頁），給出母函式

(te^(tx))/(e^t-1)=sum_(n=0)^inftyB_n(x)(t^n)/(n!)
(4)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 804 頁），由 Euler (1738) 首次獲得。前幾個伯努利多項式是

B_0(x)=1
(5)
B_1(x)=x-1/2
(6)
B_2(x)=x^2-x+1/6
(7)
B_3(x)=x^3-3/2x^2+1/2x
(8)
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-1/(30)
(9)
B_5(x)=x^5-5/2x^4+5/3x^3-1/6x
(10)
B_6(x)=x^6-3x^5+5/2x^4-1/2x^2+1/(42).
(11)

Whittaker 和 Watson（1990，第 126 頁）透過寫入以下公式定義了一種較舊型別的“伯努利多項式”

t(e^(zt)-1)/(e^t-1)=sum_(n=1)^infty(phi_n(z)t^n)/(n!)
(12)

而不是 (12)。這給出了多項式

phi_n(x)=B_n(x)-B_n,
(13)

其中 B_n 是伯努利數，前幾個伯努利數是

phi_1(x)=x
(14)
phi_2(x)=x^2-x
(15)
phi_3(x)=x^3-3/2x^2+1/2x
(16)
phi_4(x)=x^4-2x^3+x^2
(17)
phi_5(x)=x^5-5/2x^4+5/3x^3-1/6x.
(18)

伯努利多項式也滿足

B_n(1)=(-1)^nB_n(0)
(19)

和

B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)
(20)

（Lehmer 1988）。對於 n!=1，

B_n(1)=B_n,
(21)

所以

B_n(1)=B_n=0
(22)

對於奇數 n>1。

它們也滿足關係式

B_n(x+1)-B_n(x)=nx^(n-1)
(23)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 127 頁）。

對於 x 的有理數值，對於正整數 n，B_n(x) 可以用伯努利數和尤拉數表示，例如

B_n(1)=(-1)^nB_n
(24)
B_n(1/2)=(2^(1-n)-1)B_n
(25)
B_n(1/4)=-2^(-n)(1-2^(1-n))B_n-4^(-n)nE_(n-1)
(26)
B_(2n)(1/3)=-1/2(1-3^(1-2n))B_(2n)
(27)
B_(2n)(1/6)=1/2(1-2^(1-2n))(1-3^(1-2n))B_(2n).
(28)

伯努利 (1713) 根據連續整數的冪之和定義了多項式，

sum_(k=0)^(m-1)k^(n-1)=1/n[B_n(m)-B_n(0)].
(29)

伯努利多項式滿足遞推關係

(dB_n)/(dx)=nB_(n-1)(x)
(30)

（Appell 1882），並服從恆等式

B_n(x)=(B+x)^n,
(31)

其中 B^k 被解釋為伯努利數 B_k=B_k(0)。另一個相關恆等式是

B_n=(B-x)^n,
(32)

其中 B^k 被解釋為伯努利多項式 B_k(x)。

Hurwitz 給出了傅立葉級數

B_n(x)=-(n!)/((2pii)^n)sum^'_(k=-infty)^inftyk^(-n)e^(2piikx),
(33)

對於 0<x<1，其中求和中的撇號表示項 k=0 被省略。執行求和得到

B_n(x)=-(n!)/((2pii)^n)[(-1)^nLi_n(e^(-2piix))+Li_n(e^(2piix))],
(34)

其中 Li_n(x) 是多對數函式。Raabe (1851) 發現

1/msum_(k=0)^(m-1)B_n(x+k/m)=m^(-n)B_n(mx).
(35)

涉及伯努利多項式的求和恆等式是

sum_(k=0)^m(m; k)B_k(alpha)B_(m-k)(beta) =-(m-1)B_m(alpha+beta)+m(alpha+beta-1)B_(m-1)(alpha+beta)
(36)

對於m 一個整數。S. M. Ruiz 提出的求和恆等式是

sum_(k=0)^n(-1)^(k+n)(n; k)B_n(k)=n!,
(37)

其中 (n; k) 是一個二項式係數。伯努利多項式也由以下公式給出

B_n(x)=B_n(0)+sum_(k=1)^nn/kS(n-1,k-1)(x)_k,
(38)

其中 S(n,m) 是第二類斯特林數，(x)_k 是一個降階乘（Roman 1984，第 94 頁）。一個通用恆等式由下式給出

(n)_mx^(n-m)=sum_(k=m)^n((n)_k)/((k-m+1)!)B_(n-k)(x),
(39)

它簡化為

nx^(n-1)=sum_(k=1)^n(n; k)B_(n-k)(x)
(40)

（Roman 1984，第 97 頁）。Gosper 給出了恆等式

sum_(j=0)^i([2(i-j)-1]3^(2j)(2^((2j+1))+1)B_(2(i-j))B_(2j+1)(1/3))/([2(i-j)]!(2j+1)!) =(2i·3^(2(i-1))(2^(2i-1)+1)B_(2i-1)(1/3)-(i-1/2)B_(2i))/((2i)!).
(41)

伯努利多項式的推廣 B_n^((alpha))(x) 可以定義為使得 B_n(x)=B_n^((1))(x) （Roman 1984，第 93 頁）。這些多項式具有母函式

e^(zt)(t/(e^t-1))^alpha=sum_(n=0)^inftyB_n^((alpha))(z)(t^n)/(n!),
(42)

並在 Wolfram 語言 中實現為NorlundB[n, alpha, z]。

參見

伯努利數, 第二類伯努利多項式, 尤拉-麥克勞林積分公式, 尤拉多項式, 諾倫德多項式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Polynomials/BernoulliB2/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯)。 "伯努利多項式、尤拉多項式和尤拉-麥克勞林公式。" §23.1 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約：Dover，第 804-806 頁，1972 年。Appell, P. E. "關於一類多項式。" Annales d'École Normal Superieur, Ser. 2 9, 119-144, 1882.Arfken, G. 物理學家數學方法，第 3 版。 奧蘭多，佛羅里達州：Academic Press，第 330 頁，1985 年。Bernoulli, J. 猜想術。 巴塞爾，瑞士，第 97 頁，1713 年。死後出版。Euler, L. "求和級數的一般方法。" Comment. Acad. Sci. Petropol. 6, 68-97, 1738.Lehmer, D. H. "伯努利多項式的新方法。" Amer. Math. Monthly. 95, 905-911, 1988.Lucas, E. 第 14 章 in 數論。 巴黎，1891 年。Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; 和 Brychkov, Yu. A. "廣義 Zeta 函式 zeta(s,x)，伯努利多項式 B_n(x)，尤拉多項式 E_n(x)，和多對數 Li_nu(x)。" §1.2 in 積分與級數，第 3 卷：更多特殊函式。 紐瓦克，新澤西州：Gordon and Breach，第 23-24 頁，1990 年。Raabe, J. L. "將一些和與定積分歸結為雅各布·伯努利函式。" J. reine angew. Math. 42, 348-376, 1851.Roman, S. "伯努利多項式。" §4.2.2 in Umbral 計算。 紐約：Academic Press，第 93-100 頁，1984 年。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "伯努利多項式 B_n(x)。" 第 19 章 in 函式圖集。 華盛頓特區：Hemisphere，第 167-173 頁，1987 年。Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 劍橋，英國：劍橋大學出版社，1990 年。

在 中引用

伯努利多項式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "伯努利多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BernoulliPolynomial.html

學科分類