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諾倫多項式

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NorlundPolynomial

諾倫多項式（注意拼寫 Nörlund 也出現在各種出版物中）是由 Carlitz (1960) 和 Adelberg (1997) 給出的多項式 B_n^((a)) 的名稱。 這些在 Wolfram 語言中實現為NorlundB[n, a]，並透過指數生成函式定義

(t/(e^t-1))^a=sum_(n=0)^inftyB_n^((a))(t^n)/(n!)
(1)

(Carlitz 1960)。

涉及 B_n^((a)) 的求和由下式給出

B_k^((a))=sum_(j=0)^(k)(-1)^j(k+1; j+1)B_k^((-ja))
(2)
(-1)^k(z; k)B_k^((k-z))=sum_(k=0)^(k)(j+k-1; k)(k-z; j+k)(k+z; k-j)B_k^((j+k))
(3)

(Carlitz 1960, Gould 1960)。

諾倫多項式透過下式與斯特林數相關

s(n,n-k)=(n-1; k)B_k^((n))
(4)

和

S(k+n,n)=(k+n; k)B_k^((-n))
(5)

(Carlitz 1960)。

諾倫多項式是以下函式的特例

B_n^((a))=B_n^((a))(0)
(6)

函式 B_n^((a))(x) 有時被稱為廣義伯努利多項式，在 Wolfram 語言中實現為NorlundB[n, a, z]。 這些多項式透過指數生成函式定義

(t/(e^t-1))^ae^(zt)=sum_(n=0)^inftyB_n^((a))(z)(t^n)/(n!).
(7)

對於小的正整數 n 和 a 的值由下式給出

B_1^((1))(x)=x-1/2
(8)
B_1^((2))(x)=x-1
(9)
B_1^((3))(x)=x-3/2
(10)
B_2^((1))(x)=x^2-x+1/6
(11)
B_2^((2))(x)=x^2-2x+5/6
(12)
B_2^((3))(x)=(1-x)(2-x)
(13)
B_3^((1))(x)=x^3-3/2x^2+1/2x
(14)
B_3^((2))(x)=x^3-3x^2+5/2x-1/2
(15)
B_3^((3))(x)=x^3-9/2x^2+6x-9/4.
(16)

多項式 B_n^((a))(x) 的導數為

(dB_n^((a))(x))/(dx)=nB_(n-1)^((a))(x)
(17)

和麥克勞林級數

B_n^((a))(x)=B_n^((a))+nB_(n-1)^((a))x+1/2n(n-1)B_(n-2)^((a))x^2+....
(18)

其中 B_n^((a)) 是關於 a 的多項式。

另請參閱

伯努利多項式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/NorlundB/

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參考文獻

Adelberg, A. "Nörlund [原文如此] 多項式 B_n(x) 的算術性質。" 1997 年 10 月 28 日。 http://citeseer.ist.psu.edu/44033.html。Carlitz, L. "關於 Nörlund [原文如此] 多項式 B_n^((z)) 的註釋。" Proc. Amer. Math. Soc. 11, 452-455, 1960.Gould, H. W. "斯特林數表示問題。" Proc. Amer. Math. Soc. 11, 447-451, 1960.Nörlund, N. E. [原文如此]. 差分方程講義。 柏林：Springer-Verlag, 1924.

參考

諾倫多項式

引用為

Weisstein, Eric W. "諾倫多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/NorlundPolynomial.html

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