導數

一個函式的導數表示該函式相對於其變數之一的無窮小變化。

函式 關於變數 的“簡單”導數表示為 或

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通常以內聯形式寫為 。當對時間求導時，通常使用牛頓的 надстрочный 點 表示法來表示流數，

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萊布尼茨的 “d-ism” 最終在符號表示的爭奪戰中戰勝了牛頓的流數表示法的 “dotage”（P. Ion, 私人交流，2006 年 8 月 18 日）。

當求 次導數時，使用符號 或

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使用，其中

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等等，是對應的流數表示法。

當函式 依賴於多個變數時，可以使用偏導數

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來指定關於一個或多個變數的導數。

函式 關於變數 的導數定義為

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但也可以更對稱地計算為

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前提是已知導數存在。

應該注意的是，以上定義指的是“實”導數，即限制在沿實軸方向上的導數。然而，這種限制是人為的，導數最自然的定義是在複平面上，在那裡它們有時被明確地稱為復導數。為了使復導數存在，對於在複平面中沿任何方向取的導數，必須獲得相同的結果。令人有些驚訝的是，數學中幾乎所有重要的函式都滿足這個性質，這等價於說它們滿足柯西-黎曼方程。

這些考慮可能會給學生帶來困惑，因為初等微積分教材通常只考慮“實”導數，從不提及復導數、復變數或複函式的存在。例如，與教科書示例相反，“導數”（讀作：復導數） 的絕對值函式 不存在，因為在複平面中的每個點，導數值都取決於導數取的方向（因此柯西-黎曼方程不能也不成立）。然而，實導數（即，將導數限制在沿實軸的方向上）可以為 以外的點定義為

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由於計算機代數語言和程式（如 Wolfram 語言）通常處理復變數（即，導數的定義始終意味著復導數），因此 在此類軟體中正確地返回未求值結果。

如果一階導數存在，則二階導數可以定義為

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並且可以更對稱地計算為

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再次前提是已知二階導數存在。

請注意，為了使極限存在， 和 都必須存在且相等，因此函式必須是連續的。然而，連續性是可微性的必要條件但不是充分條件。由於一些不連續函式可以積分，因此在某種意義上，可以積分的函式比可微分的函式“更多”。在給斯蒂爾吉斯的信中，埃爾米特寫道：“我對這種沒有導數的可悲的函式瘟疫感到驚恐和恐懼。”

導數到任意方向的三維推廣被稱為方向導數。一般來說，導數是存在於流形上的光滑函式之間的數學物件。在這種形式體系中，導數通常被組合成“切對映”。

在許多方面，執行數值微分比數值積分更困難。這是因為，雖然數值積分只需要被積函式具有良好的連續性，但數值微分需要更復雜的性質，例如 Lipschitz 類。

一些簡單函式的簡單導數如下

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其中 , , 等是雅可比橢圓函式，並且已廣泛使用乘積法則和商法則來展開導數。

有許多重要的規則用於計算某些函式組合的導數。和的導數等於導數的和，因此

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此外，如果 是常數，

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微分的乘積法則指出

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其中 表示 關於 的導數。此導數規則可以迭代應用，以產生三個或更多函式乘積的導數規則，例如，

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導數的商法則指出

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而冪法則給出

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用於計算導數的另一個非常重要的規則是鏈式法則，它指出對於 ，

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或更一般地，對於

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其中 表示偏導數。

其他各種導數恆等式包括

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如果 ，其中 是常數，則

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因此

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反函式的導數恆等式包括

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向量函式的向量導數

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可以定義為

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階導數 對於 , 2, ... 是

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係數三角形 1；1, 1；2, 4, 1；6, 18, 9, 1；... (OEIS A021009) 的 行由拉蓋爾多項式 的係數的絕對值給出。

Faà di Bruno 公式給出了複合函式 的 階導數的顯式公式。

1996 年 6 月 2 日比爾·阿門德 (Bill Amend) 的漫畫 FoxTrot (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007) 以以下導數作為一個“難題”考試題，原 intended 用於補習數學班，但意外地發給了普通班

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