有限差分

有限差分是導數的離散 аналог（模擬）。函式 的有限前向差分定義為

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有限後向差分定義為

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前向有限差分在 Wolfram 語言中實現為DifferenceDelta[f, i]。

如果值以間距 製表，則使用符號

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。 階前向差分然後可以寫成 ，類似地， 階後向差分可以寫成 。

然而，當 被視為連續函式 的離散化時，有限差分有時寫為

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其中 表示卷積， 是奇脈衝對。因此，有限差分運算元可以寫成

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次冪具有常數 階有限差分。例如，取 並製作一個差分表，

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列是常數 6。

有限差分公式對於外推有限量的資料以嘗試找到通項非常有用。具體來說，如果函式 僅在少數離散值 , 1, 2, ... 處已知，並且希望確定 的解析形式，則如果 被假定為多項式函式，則可以使用以下過程。將感興趣的序列中的第 個值表示為 。然後將 定義為前向差分 ，將 定義為二階前向差分 ，等等，構建如下表

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繼續計算 、 等，直到獲得 0 值。然後，給出值 的多項式函式由下式給出

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當使用符號 、 等時，這個優美的方程稱為牛頓前向差分公式。為了看一個具體的例子，考慮一個序列，其前幾個值為 1, 19, 143, 607, 1789, 4211 和 8539。然後差分表由下式給出

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讀取每行中的第一個數字得到 、、、、。將這些代入得到方程

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它確實完全符合原始資料。

導數的公式由下式給出

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（Beyer 1987, pp. 449-451; Zwillinger 1995, p. 705）。

有限差分積分的公式

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由 Beyer (1987, pp. 455-456) 給出。

有限差分導致差分方程，即微分方程的有限 аналог（模擬）。事實上，影子微積分顯示了連續函式的許多優雅 аналог（模擬）的著名恆等式。偏微分方程的常用有限差分格式包括所謂的 Crank-Nicolson、Du Fort-Frankel 和 Laasonen 方法。